Номер 11, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Решите уравнение, используя введение новой переменной

$12\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 56\left(x + \frac{1}{x}\right) - 89.$

Данное уравнение является симметрическим (возвратным). Его вид:

$$12\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 56\left(x + \frac{1}{x}\right) - 89$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Для решения введем новую переменную, как предложено в условии. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

Из этого соотношения следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Теперь подставим выражения с новой переменной $t$ в исходное уравнение:

$$12(t^2 - 2) = 56t - 89$$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. Сначала раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$$12t^2 - 24 = 56t - 89$$

$$12t^2 - 56t - 24 + 89 = 0$$

$$12t^2 - 56t + 65 = 0$$

Для нахождения корней этого уравнения вычислим дискриминант $D$:

$$D = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 65 = 3136 - 3120 = 16$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 + \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{56 + 4}{24} = \frac{60}{24} = \frac{5}{2}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{56 - \sqrt{16}}{2 \cdot 12} = \frac{56 - 4}{24} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6}$$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

Случай 1: $t = \frac{5}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$$

Умножим обе части на $2x$ (так как $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$$2x^2 + 2 = 5x$$

$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$

Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни:

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$$

Случай 2: $t = \frac{13}{6}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$$x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$$

Умножим обе части на $6x$ (так как $x \neq 0$):

$$6x^2 + 6 = 13x$$

$$6x^2 - 13x + 6 = 0$$

Решаем полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D_2 = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни:

$$x_3 = \frac{13 + \sqrt{25}}{12} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$

$$x_4 = \frac{13 - \sqrt{25}}{12} = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

Объединяя все найденные значения, получаем четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $2; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{2}{3}$.