Номер 6, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Найдите координаты точек пересечения графиков функций

$y = \frac{2x-5}{x-1}$ и $y = \frac{5x-3}{3x+5}$.

6. Для нахождения координат точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части, поскольку в точках пересечения значения $y$ совпадают.

Даны функции: $y = \frac{2x - 5}{x - 1}$ и $y = \frac{5x - 3}{3x + 5}$.

Приравниваем выражения для $y$:
$\frac{2x - 5}{x - 1} = \frac{5x - 3}{3x + 5}$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$3x + 5 \neq 0 \implies 3x \neq -5 \implies x \neq -\frac{5}{3}$

Теперь решим уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(2x - 5)(3x + 5) = (5x - 3)(x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$6x^2 + 10x - 15x - 25 = 5x^2 - 5x - 3x + 3$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$6x^2 - 5x - 25 = 5x^2 - 8x + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 5x - 25 - 5x^2 + 8x - 3 = 0$
$(6x^2 - 5x^2) + (-5x + 8x) + (-25 - 3) = 0$
$x^2 + 3x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Оба найденных значения $x$ входят в ОДЗ. Теперь найдем соответствующие им значения $y$, подставив каждое значение $x$ в любую из исходных функций. Воспользуемся функцией $y = \frac{2x - 5}{x - 1}$.

Для $x_1 = -7$:
$y_1 = \frac{2(-7) - 5}{-7 - 1} = \frac{-14 - 5}{-8} = \frac{-19}{-8} = \frac{19}{8}$
Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(-7, \frac{19}{8})$.

Для $x_2 = 4$:
$y_2 = \frac{2(4) - 5}{4 - 1} = \frac{8 - 5}{3} = \frac{3}{3} = 1$
Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(4, 1)$.

Ответ: $(-7, \frac{19}{8})$, $(4, 1)$.