Номер 3, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Решите уравнение $\frac{6}{3x + 8} = 5x - 1$ и выполните проверку.

Решение уравнения

Исходное уравнение:

$\frac{6}{3x+8} = 5x - 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$3x + 8 \neq 0$

$3x \neq -8$

$x \neq -\frac{8}{3}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на выражение $(3x + 8)$, при условии, что оно не равно нулю:

$6 = (5x - 1)(3x + 8)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$6 = 5x \cdot 3x + 5x \cdot 8 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 8$

$6 = 15x^2 + 40x - 3x - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$6 = 15x^2 + 37x - 8$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$15x^2 + 37x - 8 - 6 = 0$

$15x^2 + 37x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=15$, $b=37$, $c=-14$.

$D = 37^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-14) = 1369 + 840 = 2209$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2209} = 47$

$x_1 = \frac{-37 + 47}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-37 - 47}{2 \cdot 15} = \frac{-84}{30} = -\frac{42}{15} = -\frac{14}{5}$ (или $-2.8$)

Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -\frac{8}{3}$), так как $\frac{1}{3} \neq -\frac{8}{3}$ и $-\frac{14}{5} \neq -\frac{8}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -\frac{14}{5}$.

Проверка

Выполним проверку, подставив каждый из найденных корней в исходное уравнение.

1. Для корня $x_1 = \frac{1}{3}$:

Подставляем в уравнение $\frac{6}{3x+8} = 5x - 1$.

Левая часть: $\frac{6}{3(\frac{1}{3}) + 8} = \frac{6}{1 + 8} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Правая часть: $5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{5}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$.

Так как левая и правая части равны ($\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$), корень $x_1 = \frac{1}{3}$ найден верно.

2. Для корня $x_2 = -\frac{14}{5}$:

Подставляем в уравнение $\frac{6}{3x+8} = 5x - 1$.

Левая часть: $\frac{6}{3(-\frac{14}{5}) + 8} = \frac{6}{-\frac{42}{5} + \frac{40}{5}} = \frac{6}{-\frac{2}{5}} = 6 \cdot (-\frac{5}{2}) = -15$.

Правая часть: $5(-\frac{14}{5}) - 1 = -14 - 1 = -15$.

Так как левая и правая части равны ($-15 = -15$), корень $x_2 = -\frac{14}{5}$ найден верно.

Ответ: проверка подтвердила правильность найденных корней.