Номер 8, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Решите уравнение $ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} $

Решение. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей: .............................

Решим полученное уравнение:

Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей:

Исходное уравнение:
$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-4} = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3}$
Перенесем слагаемое $\frac{1}{x-4}$ в правую часть, а слагаемое $\frac{1}{x-2}$ в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные. Это позволит нам получить разности дробей в обеих частях, что упростит дальнейшие вычисления.
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}$

Решим полученное уравнение:

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \ne 1$, $x \ne 2$, $x \ne 3$, $x \ne 4$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x-2-x+1}{x^2 - 2x - x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 3x + 2}$
Теперь приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) - (x-3)}{(x-3)(x-4)} = \frac{x-4-x+3}{x^2 - 4x - 3x + 12} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12}$
Теперь приравняем полученные выражения:
$\frac{-1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x^2 - 7x + 12}$
Так как числители дробей равны (и не равны нулю), то для равенства дробей необходимо, чтобы их знаменатели также были равны:
$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 7x + 12$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-3x + 2 = -7x + 12$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$7x - 3x = 12 - 2$
$4x = 10$
$x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$
Полученное значение $x = 2.5$ входит в область допустимых значений, так как не равно 1, 2, 3 или 4.
Ответ: $2.5$.