Номер 13, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{25}{x}$ и $y = x^2 + x - 25$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В точках пересечения значения координат x и y для обоих графиков совпадают. Поэтому мы можем приравнять выражения для y.

Даны функции:

$y = \frac{25}{x}$

$y = x^2 + x - 25$

Приравняем правые части этих уравнений:

$\frac{25}{x} = x^2 + x - 25$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в левой части уравнения есть деление на x, то $x \neq 0$.

Теперь умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

$x \cdot \frac{25}{x} = x \cdot (x^2 + x - 25)$

$25 = x^3 + x^2 - 25x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение, равное нулю:

$x^3 + x^2 - 25x - 25 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) + (-25x - 25) = 0$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 25(x + 1) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - 25)(x + 1) = 0$

Выражение в первых скобках, $x^2 - 25$, является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.

Подставим разложенное выражение обратно в уравнение:

$(x - 5)(x + 5)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три возможных значения для x:

1) $x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$

2) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

3) $x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного x. Для этого подставим значения x в любую из исходных функций. Проще всего использовать $y = \frac{25}{x}$.

• Для $x_1 = 5$:

  $y_1 = \frac{25}{5} = 5$. Координаты первой точки: $(5, 5)$.

• Для $x_2 = -5$:

  $y_2 = \frac{25}{-5} = -5$. Координаты второй точки: $(-5, -5)$.

• Для $x_3 = -1$:

  $y_3 = \frac{25}{-1} = -25$. Координаты третьей точки: $(-1, -25)$.

Таким образом, графики функций имеют три точки пересечения.

Ответ: $(5, 5)$; $(-5, -5)$; $(-1, -25)$.