Номер 17, страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

17. Применяя введение новой переменной, решите уравнение:

a) $3x^2 + \frac{3}{x^2} - x - \frac{1}{x} - 24 = 0$

б) $2x^2 + \frac{2}{x^2} = 2 + x + \frac{1}{x}$

a) Исходное уравнение: $3x^2 + \frac{3}{x^2} - x - \frac{1}{x} - 24 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые в уравнении:

$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 24 = 0$.

Это уравнение является симметрическим (возвратным). Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить через $t$ выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Теперь подставим выражения для $x + \frac{1}{x}$ и $x^2 + \frac{1}{x^2}$ в исходное уравнение:

$3(t^2 - 2) - t - 24 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$3t^2 - 6 - t - 24 = 0$

$3t^2 - t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 19}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 19}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$ и найдем корни исходного уравнения.

1) При $t = \frac{10}{3}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.

Умножим обе части на $3x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = 10x$

$3x^2 - 10x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_x = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2) При $t = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$.

Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_x = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.

$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

Все четыре найденных корня входят в ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{3}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

б) Исходное уравнение: $2x^2 + \frac{2}{x^2} = 2 + x + \frac{1}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:

$2x^2 + \frac{2}{x^2} - (x + \frac{1}{x}) - 2 = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 2 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Как и в предыдущем пункте, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$2(t^2 - 2) - t - 2 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 4 - t - 2 = 0$

$2t^2 - t - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$t_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Выполним обратную замену.

1) При $t = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$.

Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = 0$.

Отсюда получаем единственный корень $x_1 = 1$.

2) При $t = -\frac{3}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$.

Умножим обе части на $2x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$2x^2 + 2 = -3x$

$2x^2 + 3x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_x = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как дискриминант $D_x < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $1$.