Номер 5, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Два ученика должны были обработать по 120 деталей за определённый срок. Первый из них, обрабатывая на 2 детали в час больше второго, за 3 ч до срока обработал 136 деталей. За сколько часов первый ученик обработал 136 деталей?

Решение.

Заполним таблицу:

Работа, дет. Производительность, дет./ч Время, ч

Первый ученик 136

Второй ученик 120

По условию задачи первый ученик работал на 3 ч меньше второго ученика. Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть производительность второго ученика равна $x$ деталей в час. Согласно условию, первый ученик обрабатывал на 2 детали в час больше, следовательно, его производительность равна $(x+2)$ деталей в час.

Определённый срок, за который должны были быть выполнены работы, можно определить как время, необходимое второму ученику для обработки плановых 120 деталей. Таким образом, этот срок составляет $T = \frac{120}{x}$ часов.

Первый ученик фактически обработал 136 деталей. Время, которое он на это затратил, составляет $t_1 = \frac{136}{x+2}$ часов.

По условию задачи, первый ученик закончил работу за 3 часа до установленного срока. Это означает, что время его работы на 3 часа меньше, чем плановый срок $T$. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 = T - 3$

$\frac{136}{x+2} = \frac{120}{x} - 3$

Для решения уравнения перегруппируем слагаемые:

$\frac{120}{x} - \frac{136}{x+2} = 3$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{120(x+2) - 136x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 240 - 136x}{x(x+2)} = 3$

$\frac{240 - 16x}{x(x+2)} = 3$

Умножим обе части на знаменатель $x(x+2)$, учитывая, что производительность $x > 0$:

$240 - 16x = 3x(x+2)$

$240 - 16x = 3x^2 + 6x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 3x^2 + 6x + 16x - 240$

$3x^2 + 22x - 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-240) = 484 + 2880 = 3364$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{3364} = 58$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-22 + 58}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{-22 - 58}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6} = -\frac{40}{3}$

Так как производительность не может быть отрицательной, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $x=6$. Это производительность второго ученика (6 деталей в час).

Производительность первого ученика равна $x+2 = 6+2 = 8$ деталей в час.

Теперь ответим на главный вопрос задачи: за сколько часов первый ученик обработал 136 деталей. Для этого разделим количество деталей на производительность первого ученика:

Время = $\frac{136}{8} = 17$ часов.

Ответ: 17 часов.