Номер 9, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Две точки равномерно вращаются по окружности. Одна из них совершает полный оборот на 10 с быстрее, чем другая, и потому успевает сделать за минуту на 1 оборот больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?

Решение. Заполним таблицу:

v, об./мин s, об. t, мин

Первая точка $x + 1$ 1

Вторая точка $x$ 1

По условию задачи, чтобы сделать 1 полный оборот, первая точка потратила времени на 10 с = ............ мин меньше, чем понадобилось второй точке.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть $x$ об/мин - это скорость вращения (частота) второй точки. Согласно условию, первая точка совершает на 1 оборот в минуту больше, следовательно, ее скорость составляет $(x+1)$ об/мин. Для составления уравнения найдем время, которое требуется каждой точке для совершения одного полного оборота ($s=1$ оборот). Время $t$ вычисляется по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $v$ - это скорость вращения.

Заполним таблицу, подставив известные значения:

По условию задачи, чтобы сделать 1 полный оборот, первая точка потратила времени на 10 с меньше, чем понадобилось второй точке. Для согласования единиц измерения переведем 10 секунд в минуты:

$10 \text{ с} = \frac{10}{60} \text{ мин} = \frac{1}{6} \text{ мин}$

Так как первая точка вращается быстрее, время на один оборот у нее меньше. Это означает, что разница между временем второй точки ($t_2$) и временем первой точки ($t_1$) равна $\frac{1}{6}$ минуты.

Составим и решим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{1 \cdot (x+1) - 1 \cdot x}{x(x+1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{6}$

Из равенства дробей следует равенство их знаменателей (по свойству пропорции):

$x^2 + x = 6$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -3$

Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость вращения (количество оборотов в минуту) не может быть отрицательной величиной. Следовательно, единственное подходящее решение - это $x = 2$.

Таким образом, скорость второй точки составляет $x = 2$ оборота в минуту.

Тогда скорость первой точки равна $x+1 = 2+1 = 3$ оборота в минуту.

Ответ: первая точка совершает 3 оборота в минуту, а вторая точка — 2 оборота в минуту.