Номер 11, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. В сплаве магния и алюминия содержалось 22 кг алюминия. После того как в сплав добавили 15 кг магния, процентное содержание магния повысилось на 33%. Найдите первоначальную массу сплава.

Решение. Пусть первоначальная масса сплава $x$ кг, в нём содержалось $(x - 22)$ кг магния. Заполним таблицу.

Масса сплава, кг

Масса магния, кг

Процентное содержание магния в сплаве

Было

$x$

$x - 22$

$\frac{x - 22}{x} \cdot 100\%$

Стало

$x + 15$

$x - 7$

$\frac{x - 7}{x + 15} \cdot 100\%$

По условию задачи процентное содержание магния повысилось на 33%.

Составим и решим уравнение:

Для решения задачи обозначим первоначальную массу сплава через $x$ кг. Поскольку в сплаве содержалось 22 кг алюминия, масса магния в первоначальном сплаве составляла $(x - 22)$ кг.

Заполним таблицу, аналогичную приведенной в условии, для наглядности.

Было:

Первоначально масса всего сплава была $x$ кг, а масса магния в нем — $(x - 22)$ кг. Процентное содержание магния в сплаве вычисляется как отношение массы магния к массе всего сплава, умноженное на 100%:

Процентное содержание магния = $\frac{x-22}{x} \cdot 100\%$

Стало:

После добавления 15 кг магния масса сплава увеличилась и стала равной $(x + 15)$ кг. Масса магния в новом сплаве также увеличилась и стала равной $(x - 22 + 15) = (x - 7)$ кг. Соответственно, новое процентное содержание магния в сплаве составило:

Процентное содержание магния = $\frac{x-7}{x+15} \cdot 100\%$

Составим и решим уравнение:

По условию задачи, процентное содержание магния повысилось на 33%. Это означает, что разница между новым и старым процентным содержанием составляет 33. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{x-7}{x+15} \cdot 100 - \frac{x-22}{x} \cdot 100 = 33$

Разделим обе части уравнения на 100:

$\frac{x-7}{x+15} - \frac{x-22}{x} = 0.33$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+15)$:

$\frac{x(x-7) - (x-22)(x+15)}{x(x+15)} = 0.33$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(x^2 - 7x) - (x^2 + 15x - 22x - 330)}{x^2 + 15x} = 0.33$

$\frac{x^2 - 7x - (x^2 - 7x - 330)}{x^2 + 15x} = 0.33$

$\frac{x^2 - 7x - x^2 + 7x + 330}{x^2 + 15x} = 0.33$

$\frac{330}{x^2 + 15x} = 0.33$

Выразим $x^2 + 15x$:

$x^2 + 15x = \frac{330}{0.33}$

$x^2 + 15x = 1000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 1000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 225 + 4000 = 4225$

Найдем корни уравнения ($x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$):

$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

$x_1 = \frac{-15 + 65}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$x_2 = \frac{-15 - 65}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как масса сплава не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -40$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная масса сплава составляла 25 кг.

Проверка:

1. Первоначальная масса сплава 25 кг. Масса магния: $25 - 22 = 3$ кг. Процентное содержание магния: $\frac{3}{25} \cdot 100\% = 12\%$.

2. Новая масса сплава: $25 + 15 = 40$ кг. Новая масса магния: $3 + 15 = 18$ кг. Новое процентное содержание магния: $\frac{18}{40} \cdot 100\% = 45\%$.

3. Разница в процентном содержании: $45\% - 12\% = 33\%$. Условие задачи выполнено.

Ответ: первоначальная масса сплава 25 кг.