Номер 6, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{x^2 + x - 132}$;

б) $y = \frac{\sqrt{16x^2 - 1}}{x - 2}$.

.........................

.........................

.........................

Ответ: a) ......................... б) .........................

а) $y = \sqrt{x^2 + x - 132}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, задается условием, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 + x - 132 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 132 = 0$, используя формулу корней квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$

Графиком функции $y = x^2 + x - 132$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля). Следовательно, квадратичный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $x \le -12$ или $x \ge 11$.

Записывая в виде объединения промежутков, получаем область определения функции.

Ответ: $(-\infty; -12] \cup [11; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{16x^2 - 1}}{x - 2}$

Область определения данной функции определяется двумя ограничениями:

1. Выражение под знаком квадратного корня в числителе должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 16x^2 - 1 \ge 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $16x^2 - 1 \ge 0$.

Это квадратное неравенство. Левую часть можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(4x - 1)(4x + 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $(4x - 1)(4x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1/4$ и $x_2 = 1/4$.

Графиком функции $y = 16x^2 - 1$ является парабола с ветвями вверх (коэффициент $16 > 0$). Значит, неравенство выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \le -1/4$ или $x \ge 1/4$. В виде промежутков: $(-\infty; -1/4] \cup [1/4; +\infty)$.

Теперь решим второе условие: $x - 2 \neq 0$.

$x \neq 2$

Для нахождения итоговой области определения функции необходимо совместить оба условия. То есть, из множества решений первого неравенства $(-\infty; -1/4] \cup [1/4; +\infty)$ нужно исключить точку $x=2$.

Точка $x=2$ попадает в промежуток $[1/4; +\infty)$. Исключив ее, мы разделим этот промежуток на два: $[1/4; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Объединяя все части, получаем окончательную область определения.

Ответ: $(-\infty; -1/4] \cup [1/4; 2) \cup (2; +\infty)$.