Номер 8, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. На рисунке изображены схематически графики функций $y = x^2 + 11$, $y = -x^2 - 6$, $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x^2 - 3x + 10$. Около каждого графика запишите соответствующую формулу вида $y = f(x)$ и укажите множество решений неравенства $f(x) > 0$.

График 1 (слева направо):

$y = x^2 - 4x + 3$

$f(x) > 0$: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

График 2 (слева направо):

$y = -x^2 - 6$

$f(x) > 0$: $x \in \emptyset$

График 3 (слева направо):

$y = x^2 + 11$

$f(x) > 0$: $x \in (-\infty, +\infty)$

График 4 (слева направо):

$y = -x^2 - 3x + 10$

$f(x) > 0$: $x \in (-5, 2)$

Для решения задачи сопоставим каждый из графиков с одной из предложенных функций и для каждой функции решим неравенство $f(x) > 0$. Анализ будем проводить по направлению ветвей параболы (знаку коэффициента $a$ при $x^2$) и наличию/отсутствию точек пересечения с осью Ox (знаку дискриминанта $D$).

На графике изображена парабола с ветвями, направленными вверх ($a > 0$), которая пересекает ось Ox в двух точках ($D > 0$).

Из предложенных функций условию $a > 0$ удовлетворяют $y = x^2 + 11$ и $y = x^2 - 4x + 3$.

Для функции $y = x^2 + 11$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = -44 < 0$, поэтому она не имеет точек пересечения с осью Ox.

Для функции $y = x^2 - 4x + 3$ дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0$, она имеет два корня. Следовательно, этому графику соответствует данная формула.

Теперь решим неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Ответ: формула $y = x^2 - 4x + 3$, множество решений $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

На графике изображена парабола с ветвями вниз ($a < 0$), которая не пересекает ось Ox ($D < 0$).

Из предложенных функций условию $a < 0$ удовлетворяют $y = -x^2 - 6$ и $y = -x^2 - 3x + 10$.

Для функции $y = -x^2 - 3x + 10$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 10 = 9 + 40 = 49 > 0$, она имеет два корня.

Для функции $y = -x^2 - 6$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = -24 < 0$, она не имеет корней. Это соответствует графику.

Решим неравенство $-x^2 - 6 > 0$. График этой функции полностью расположен под осью Ox, то есть $y < 0$ для любого значения $x$. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: формула $y = -x^2 - 6$, множество решений $\emptyset$ (нет решений).

На графике изображена парабола с ветвями вверх ($a > 0$), которая не пересекает ось Ox ($D < 0$).

Как мы уже установили при анализе первого графика, из двух функций с $a > 0$ условию $D < 0$ (нет корней) удовлетворяет функция $y = x^2 + 11$. Ее вершина находится в точке $(0, 11)$, что соответствует схематическому изображению.

Решим неравенство $x^2 + 11 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 11 \ge 11 > 0$. Неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: формула $y = x^2 + 11$, множество решений $x \in (-\infty; +\infty)$.

На графике изображена парабола с ветвями вниз ($a < 0$), которая пересекает ось Ox в двух точках ($D > 0$).

Как мы установили при анализе второго графика, из двух функций с $a < 0$ условию $D > 0$ (два корня) удовлетворяет функция $y = -x^2 - 3x + 10$.

Решим неравенство $-x^2 - 3x + 10 > 0$. Найдем корни уравнения $-x^2 - 3x + 10 = 0$ (что эквивалентно $x^2 + 3x - 10 = 0$). По теореме Виета $x_1 \cdot x_2 = -10$ и $x_1 + x_2 = -3$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения на интервале между корнями.

Ответ: формула $y = -x^2 - 3x + 10$, множество решений $x \in (-5; 2)$.