Номер 1, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Решите неравенство $(x - 4)(x + 2)(x - 8) < 0$.

Решение.

Отметим на координатной прямой нули функции $f(x)=(x - 4)(x + 2)(x - 8)$.

Укажем знак функции в крайнем справа интервале и определим знаки функции в других интервалах, используя условие чередования знаков. Найдём интервалы, в которых значение произведения $(x - 4)(x + 2)(x - 8)$ отрицательно.

Ответ:

Решение.

Для решения данного неравенства $(x-4)(x+2)(x-8) < 0$ применим метод интервалов, следуя предложенному плану.

1. Нахождение нулей функции.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x-4)(x+2)(x-8)$. Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x)=0$. Приравняем каждый множитель к нулю:

• $x - 4 = 0 \implies x_1 = 4$
• $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$
• $x - 8 = 0 \implies x_3 = 8$

2. Нанесение нулей на координатную прямую.
Отметим найденные нули (-2, 4, 8) на координатной прямой. Поскольку неравенство строгое (<, а не $\le$), точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в итоговое решение. Эти точки разделят прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 4)$, $(4; 8)$ и $(8; +\infty)$.

3. Определение знаков в интервалах.
Определим знак функции $f(x)$ в крайнем правом интервале $(8; +\infty)$. Возьмем любое число из этого интервала, например, $x=10$.
$f(10) = (10-4)(10+2)(10-8) = (6)(12)(2) = 144$.
Значение положительное ($144 > 0$), значит, в интервале $(8; +\infty)$ функция имеет знак "+".

Так как все корни уравнения $f(x)=0$ имеют нечетную кратность (каждый корень встречается один раз), то знаки в интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, расставим знаки:

4. Выбор интервалов и запись ответа.
Согласно условию неравенства $(x-4)(x+2)(x-8) < 0$, нам нужны интервалы, где функция $f(x)$ отрицательна, то есть те, где стоит знак "–".
Из схемы видно, что это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(4; 8)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (4; 8)$.