Номер 2, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. При каких значениях m произведение $(m+8)(m+7)m(m-1)$ принимает положительное значение?

Для того чтобы произведение $(m+8)(m+7)m(m-1)$ принимало положительное значение, необходимо решить следующее неравенство:

$(m+8)(m+7)m(m-1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Нахождение нулей выражения
Сначала найдем значения $m$, при которых выражение равно нулю. Это точки, в которых выражение может поменять свой знак.

$(m+8)(m+7)m(m-1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$m+8=0 \implies m_1 = -8$
$m+7=0 \implies m_2 = -7$
$m=0 \implies m_3 = 0$
$m-1=0 \implies m_4 = 1$

2. Анализ интервалов на числовой оси
Нанесем полученные точки (нули) на числовую прямую в порядке возрастания: $-8, -7, 0, 1$. Эти точки делят прямую на пять интервалов:

$(-\infty; -8)$, $(-8; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$

Поскольку неравенство строгое (знак $>$, а не $\ge$), сами точки $-8, -7, 0, 1$ не входят в решение.

3. Определение знака выражения на каждом интервале
Определим знак произведения на каждом из интервалов. Можно взять по одной пробной точке из каждого интервала, либо определить знак на крайнем правом интервале и далее чередовать знаки, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Возьмем точку из крайнего правого интервала $(1; +\infty)$, например, $m=2$:
$(2+8)(2+7)(2)(2-1) = 10 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 1 = 180$. Значение положительное, ставим знак «+».

Теперь, двигаясь справа налево через каждый корень, меняем знак на противоположный:

• Интервал $(1; +\infty)$: знак «+»
• Интервал $(0; 1)$: знак «-»
• Интервал $(-7; 0)$: знак «+»
• Интервал $(-8; -7)$: знак «-»
• Интервал $(-\infty; -8)$: знак «+»

4. Формирование ответа
Нас интересуют значения $m$, при которых произведение положительно, то есть те интервалы, где мы поставили знак «+».

Это интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-7; 0)$ и $(1; +\infty)$.

Объединяем эти интервалы, чтобы получить окончательное решение.

Ответ: $m \in (-\infty; -8) \cup (-7; 0) \cup (1; +\infty)$.