Номер 11, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 - 49 \le 0, \\ 6x + 12 > 3x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 10x \le -21, \\ 4(x - 1) < 17 - x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 49 \le 0, \\ 6x + 12 > 3x; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 49 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 49 = 0$. Это разность квадратов: $(x-7)(x+7) = 0$. Корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, то значения функции $y=x^2-49$ не положительны ($ \le 0 $) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-7, 7]$.

2. Решим второе неравенство: $6x + 12 > 3x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$6x - 3x > -12$

$3x > -12$

Разделим обе части на 3:

$x > -4$

Решение второго неравенства: $x \in (-4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \in [-7, 7]$ и $x > -4$. Пересечением этих двух множеств является промежуток от -4 (не включая) до 7 (включая).

Ответ: $(-4, 7]$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 10x \le -21, \\ 4(x-1) < 17 - x; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 10x \le -21$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$x^2 - 10x + 21 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 10x + 21 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение 21. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 7$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому значения функции $y = x^2 - 10x + 21$ не положительны ($ \le 0 $) между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [3, 7]$.

2. Решим второе неравенство: $4(x-1) < 17 - x$.

Раскроем скобки:

$4x - 4 < 17 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$4x + x < 17 + 4$

$5x < 21$

Разделим обе части на 5:

$x < \frac{21}{5}$ или $x < 4.2$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 4.2)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \in [3, 7]$ и $x < 4.2$. Пересечением этих двух множеств является промежуток от 3 (включая) до 4.2 (не включая).

Ответ: $[3, 4.2)$.