Номер 13, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Найдите область определения функции:

a) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 15 - 8x}}{x^2 - 4}$

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 49}}{x^2 + 7x}$

a)

y

0

x

б)

y

0

x

а) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 15 - 8x}}{x^2 - 4}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции должны выполняться два условия:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$x^2 + 15 - 8x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 - 4 \ne 0$

Решим систему этих условий:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 4 \ne 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Значит, трехчлен принимает неотрицательные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

2. Решим второе условие: $x^2 - 4 \ne 0$.

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) \ne 0$.

Отсюда получаем, что $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Мы должны исключить точки $x=2$ и $x=-2$ из множества $(-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

Точки $-2$ и $2$ обе принадлежат промежутку $(-\infty, 3]$. Исключая их, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, 3] \cup [5, \infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x^2 - 49}}{x^2 + 7x}$

Область определения функции определяется следующими условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x^2 - 49 \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 7x \ne 0$

Решим систему этих условий:

$\begin{cases} x^2 - 49 \ge 0 \\ x^2 + 7x \ne 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 49 \ge 0$.

Перенесем 49 в правую часть: $x^2 \ge 49$.

Это неравенство выполняется, когда $|x| \ge 7$, то есть $x \le -7$ или $x \ge 7$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [7, \infty)$.

2. Решим второе условие: $x^2 + 7x \ne 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 7) \ne 0$.

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x \ne 0$ и $x + 7 \ne 0$.

Отсюда получаем, что $x \ne 0$ и $x \ne -7$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Мы должны исключить точки $x=0$ и $x=-7$ из множества $(-\infty, -7] \cup [7, \infty)$.

Точка $x = -7$ входит в это множество как конец промежутка $(-\infty, -7]$. Мы должны ее исключить, поэтому скобка станет круглой.

Точка $x = 0$ не входит в множество $(-\infty, -7] \cup [7, \infty)$, поэтому это условие не вносит дополнительных ограничений.

Объединяя результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup [7, \infty)$.