Номер 6, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Воспользовавшись тем, что знак дроби $\frac{a}{b}$ совпадает со знаком произведения $ab$, решите неравенство:

a) $\frac{x+1}{x-11} > 0;$

б) $\frac{7x+14}{x+1} < 0.$

В условии задачи сказано, что знак дроби $\frac{a}{b}$ совпадает со знаком произведения $ab$. Это позволяет нам заменить решение дробно-рационального неравенства решением равносильного ему неравенства, в котором вместо дроби стоит произведение числителя и знаменателя. При этом необходимо помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

а) $\frac{x+1}{x-11}>0$

Данное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} (x+1)(x-11) > 0, \\ x-11 \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство $(x+1)(x-11) > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули выражения $(x+1)(x-11)$:
$x+1=0 \implies x_1=-1$
$x-11=0 \implies x_2=11$
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

3. Определим знаки произведения на полученных интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 11)$ и $(11; +\infty)$.
- При $x > 11$ (например, $x=12$): $(12+1)(12-11) = 13 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
- При $-1 < x < 11$ (например, $x=0$): $(0+1)(0-11) = 1 \cdot (-11) < 0$. Знак «-».
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2+1)(-2-11) = (-1) \cdot (-13) > 0$. Знак «+».
4. Так как нам нужно, чтобы произведение было больше нуля, выбираем интервалы со знаком «+».
Условие $x-11 \neq 0$, то есть $x \neq 11$, учтено, так как точка $x=11$ выколотая.
Решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (11; +\infty)$.

б) $\frac{7x+14}{x+1}<0$

Данное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} (7x+14)(x+1) < 0, \\ x+1 \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство. Можно вынести общий множитель 7 за скобки:
$7(x+2)(x+1) < 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 7, знак неравенства при этом не изменится:
$(x+2)(x+1) < 0$
1. Найдем нули выражения $(x+2)(x+1)$:
$x+2=0 \implies x_1=-2$
$x+1=0 \implies x_2=-1$
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки выколотые.

3. Определим знаки произведения на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
- При $x > -1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0+1) = 2 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5+2)(-1.5+1) = 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак «-».
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3+1) = (-1) \cdot (-2) > 0$. Знак «+».
4. Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал со знаком «-».
Условие $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$, выполняется, так как точка $x=-1$ выколотая.
Ответ: $x \in (-2; -1)$.