Номер 11, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x^2 - 16}}$

б) $y=\sqrt{\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x - 1}}$

а) Область определения функции $y = \sqrt{\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x^2 - 16}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x^3 - 5x^2 + 6x}{x^2 - 16} \ge 0$

Для решения неравенства разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6)$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $x(x^2 - 5x + 6) = x(x - 2)(x - 3)$.

Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{x(x - 2)(x - 3)}{(x - 4)(x + 4)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя (точки, в которых выражение равно 0): $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$. Эти точки являются решениями, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): $x = -4$, $x = 4$. Эти точки должны быть исключены из области определения.

Нанесем точки на числовую ось: -4, 0, 2, 3, 4 и определим знаки выражения в каждом интервале:

• Интервал $(4, +\infty)$: знак "+".
• Интервал $(3, 4)$: знак "-".
• Интервал $(2, 3)$: знак "+".
• Интервал $(0, 2)$: знак "-".
• Интервал $(-4, 0)$: знак "+".
• Интервал $(-\infty, -4)$: знак "-".

Мы ищем значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком "+" и точкам, где числитель равен нулю.

Объединяя результаты, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = (-4, 0] \cup [2, 3] \cup (4, +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x - 1}}$ область определения также задается условием неотрицательности подкоренного выражения и отличия знаменателя от нуля.

Запишем неравенство:

$\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x - 1} \ge 0$

Разложим числитель на множители:

$x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4) = x(x + 2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x + 2)^2}{x - 1} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = 0$ и $x = -2$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Точки $x=0$ и $x=-2$ включаются в решение, так как неравенство нестрогое. Точка $x=1$ исключается.

Обратим внимание на множитель $(x + 2)^2$. Он всегда неотрицателен. При $x = -2$ выражение равно нулю, что удовлетворяет неравенству. При $x \ne -2$ множитель $(x+2)^2$ положителен и не влияет на знак дроби. При переходе через точку $x = -2$ знак выражения не меняется (корень четной кратности).

Определим знаки на интервалах, отметив точки -2, 0, 1 на оси:

• Интервал $(1, +\infty)$: знак "+".
• Интервал $(0, 1)$: знак "-".
• Интервал $(-2, 0)$: знак "+".
• Интервал $(-\infty, -2)$: знак "+".

Выбираем промежутки, где выражение неотрицательно. Это $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(1, +\infty)$. Также включаем нули числителя $x=0$ и $x=-2$.

Объединяя интервалы и точки, получаем: $(-\infty, -2] \cup [-2, 0] \cup (1, +\infty)$, что можно записать как $(-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.