Номер 14, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Найдите, при каких значениях x значения дроби $ \frac{6x-1}{4x+3} $ при надлежат промежутку $[1; 8]$.

Решение. Решим двойное неравенство:

Представим его в виде системы неравенств:

$ \left\{ \begin{aligned} & \frac{6x-1}{4x+3} - 1 \ge 0 \\ & \frac{6x-1}{4x+3} - 8 \le 0 \\ & \\ & \frac{2x-4}{4x+3} \ge 0 \\ & \frac{26x+25}{4x+3} \ge 0 \end{aligned} \right. $

Решим каждое из неравенств:

Найдём пересечение полученных множеств:

Ответ:

Решим двойное неравенство:

Заданное условие означает, что значение дроби должно удовлетворять двойному неравенству:

$1 \le \frac{6x - 1}{4x + 3} \le 8$

Представим его в виде системы неравенств:

Двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} \frac{6x - 1}{4x + 3} \ge 1, \\ \frac{6x - 1}{4x + 3} \le 8. \end{cases}$

Решим каждое из неравенств:

1) Решаем первое неравенство системы:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} \ge 1$

Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} - 1 \ge 0$

$\frac{6x - 1 - (4x + 3)}{4x + 3} \ge 0$

$\frac{2x - 4}{4x + 3} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (точка является решением, т.к. неравенство нестрогое)

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$ (точка не является решением, т.к. знаменатель не может быть равен нулю)

Отмечаем точки на числовой оси и определяем знаки выражения в интервалах. Нам нужны интервалы со знаком "+".

Решением первого неравенства является множество: $x \in (-\infty; -\frac{3}{4}) \cup [2; +\infty)$.

2) Решаем второе неравенство системы:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} \le 8$

Переносим 8 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

$\frac{6x - 1}{4x + 3} - 8 \le 0$

$\frac{6x - 1 - 8(4x + 3)}{4x + 3} \le 0$

$\frac{6x - 1 - 32x - 24}{4x + 3} \le 0$

$\frac{-26x - 25}{4x + 3} \le 0$

Умножим дробь на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{26x + 25}{4x + 3} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Находим нули числителя и знаменателя:

$26x + 25 = 0 \Rightarrow x = -\frac{25}{26}$ (точка является решением)

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$ (точка не является решением)

Отмечаем точки на числовой оси (учитывая, что $-\frac{25}{26} < -\frac{3}{4}$) и определяем знаки. Нам нужны интервалы со знаком "+".

Решением второго неравенства является множество: $x \in (-\infty; -\frac{25}{26}] \cup (-\frac{3}{4}; +\infty)$.

Найдём пересечение полученных множеств:

Нам нужно найти общие решения для обоих неравенств, то есть пересечение множеств:

$((-\infty; -\frac{3}{4}) \cup [2; +\infty)) \cap ((-\infty; -\frac{25}{26}] \cup (-\frac{3}{4}; +\infty))$

Изобразим решения на числовой оси.

Первое решение: $(-\infty; -0.75) \cup [2; +\infty)$

Второе решение: $(-\infty; -0.96...] \cup (-0.75; +\infty)$

Пересекая эти множества, получаем:

- Общая часть на левом участке: $(-\infty; -\frac{25}{26}]$

- Общая часть на правом участке: $[2; +\infty)$

Итоговое решение системы — это объединение этих участков.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{25}{26}] \cup [2; +\infty)$.