Номер 10, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Найдите множество решений неравенства:

a) $\frac{(p - 2)(p^2 + 11)(p^2 - 8p)}{2p - 14} < 0$;

б) $\frac{(6p + 1)(p^4 + 4)(p^2 - p)}{6p^2 - 24} > 0$.

а)

Решим неравенство: $$ \frac{(p - 2)(p^2 + 11)(p^2 - 8p)}{2p - 14} < 0 $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю. $2p - 14 \neq 0 \implies 2p \neq 14 \implies p \neq 7$.

2. Упростим неравенство. Выражение $p^2 + 11$ всегда положительно, так как $p^2 \ge 0$, а значит $p^2 + 11 \ge 11$. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, знак неравенства не изменится.

Разложим на множители числитель и знаменатель: $p^2 - 8p = p(p - 8)$
$2p - 14 = 2(p - 7)$

Неравенство принимает вид: $$ \frac{(p - 2)p(p - 8)}{2(p - 7)} < 0 $$ Умножим обе части на 2 (положительное число), знак неравенства не изменится: $$ \frac{p(p - 2)(p - 8)}{p - 7} < 0 $$

3. Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $p = 0$, $p = 2$, $p = 8$.
Нуль знаменателя: $p = 7$.

4. Отметим эти точки на числовой оси. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а точка $p=7$ также выколота из ОДЗ.

Ось разбивается на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 7)$, $(7; 8)$, $(8; +\infty)$.

5. Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение $\frac{p(p - 2)(p - 8)}{p - 7}$:

• При $p > 8$ (например, $p=9$): $\frac{9(7)(1)}{2} > 0$. Знак "+".
• При $7 < p < 8$ (например, $p=7.5$): $\frac{7.5(5.5)(-0.5)}{0.5} < 0$. Знак "−".
• При $2 < p < 7$ (например, $p=3$): $\frac{3(1)(-5)}{-4} > 0$. Знак "+".
• При $0 < p < 2$ (например, $p=1$): $\frac{1(-1)(-7)}{-6} < 0$. Знак "−".
• При $p < 0$ (например, $p=-1$): $\frac{-1(-3)(-9)}{-8} > 0$. Знак "+".

Знаки на интервалах чередуются: `+` | `−` | `+` | `−` | `+`.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (знак "−"). Это интервалы $(0; 2)$ и $(7; 8)$.

Ответ: $p \in (0; 2) \cup (7; 8)$.

б)

Решим неравенство: $$ \frac{(6p + 1)(p^4 + 4)(p^2 - p)}{6p^2 - 24} > 0 $$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю. $6p^2 - 24 \neq 0 \implies 6(p^2 - 4) \neq 0 \implies p^2 \neq 4 \implies p \neq 2$ и $p \neq -2$.

2. Упростим неравенство. Выражение $p^4 + 4$ всегда положительно, так как $p^4 \ge 0$, а значит $p^4 + 4 \ge 4$. Разделим обе части неравенства на это положительное выражение, знак неравенства не изменится.

Разложим на множители оставшиеся части числителя и знаменатель: $p^2 - p = p(p - 1)$
$6p^2 - 24 = 6(p^2 - 4) = 6(p - 2)(p + 2)$

Неравенство принимает вид: $$ \frac{(6p + 1)p(p - 1)}{6(p - 2)(p + 2)} > 0 $$ Разделим обе части на 6 (положительное число), знак неравенства не изменится: $$ \frac{p(p - 1)(6p + 1)}{(p - 2)(p + 2)} > 0 $$

3. Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $p = 0$, $p = 1$, $6p + 1 = 0 \implies p = -1/6$.
Нули знаменателя: $p = 2$, $p = -2$.

4. Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-2, -1/6, 0, 1, 2$. Все точки будут выколотыми, так как неравенство строгое, а точки $p=2$ и $p=-2$ также выколоты из ОДЗ.

Ось разбивается на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1/6)$, $(-1/6; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

5. Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение $\frac{p(p - 1)(6p + 1)}{(p - 2)(p + 2)}$:

• При $p > 2$ (например, $p=3$): $\frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $1 < p < 2$ (например, $p=1.5$): $\frac{(+)(+)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "−".
• При $0 < p < 1$ (например, $p=0.5$): $\frac{(+)(-)(+)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $-1/6 < p < 0$ (например, $p=-0.1$): $\frac{(-)(-)(+)}{(-)(+)} < 0$. Знак "−".
• При $-2 < p < -1/6$ (например, $p=-1$): $\frac{(-)(-)(-)}{(-)(+)} > 0$. Знак "+".
• При $p < -2$ (например, $p=-3$): $\frac{(-)(-)(-)}{(-)(-)} < 0$. Знак "−".

Знаки на интервалах чередуются: `−` | `+` | `−` | `+` | `−` | `+`.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы $(-2; -1/6)$, $(0; 1)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $p \in (-2; -1/6) \cup (0; 1) \cup (2; +\infty)$.