Номер 3, страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. Решите неравенство, используя метод интервалов:

a) $x(9-x)(x+16)(24+x)>0$;

б) $-(2-x)(4+x)(x-11)>0$.

а) Решим неравенство $x(9 - x)(x + 16)(24 + x) > 0$.
Для применения метода интервалов приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициент при $x$ в каждом множителе положителен.
Вынесем знак минус из скобки $(9 - x)$:
$x \cdot (-(x - 9))(x + 16)(x + 24) > 0$
$-x(x - 9)(x + 16)(x + 24) > 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x(x - 9)(x + 16)(x + 24) < 0$
Теперь найдем нули функции $f(x) = x(x - 9)(x + 16)(x + 24)$, приравняв ее к нулю:
$x_1 = 0$
$x - 9 = 0 \implies x_2 = 9$
$x + 16 = 0 \implies x_3 = -16$
$x + 24 = 0 \implies x_4 = -24$
Расположим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-24, -16, 0, 9$. Эти точки разбивают прямую на пять интервалов.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=10$:
$10(10 - 9)(10 + 16)(10 + 24) = 10 \cdot 1 \cdot 26 \cdot 34 > 0$. Знак «+».
Поскольку все корни имеют нечетную степень (первую), знаки в интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на интервалах справа налево:
$(9; +\infty): +$
$(0; 9): -$
$(-16; 0): +$
$(-24; -16): -$
$(-\infty; -24): +$
Мы ищем решения для неравенства $x(x - 9)(x + 16)(x + 24) < 0$, то есть нам нужны интервалы со знаком «-».
Это интервалы $(-24; -16)$ и $(0; 9)$.

Ответ: $x \in (-24, -16) \cup (0, 9)$.

б) Решим неравенство $-(2 - x)(4 + x)(x - 11) > 0$.
Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем знак минус из скобки $(2 - x)$:
$-(-(x - 2))(x + 4)(x - 11) > 0$
Два знака минус дают плюс:
$(x - 2)(x + 4)(x - 11) > 0$
Найдем нули функции $g(x) = (x - 2)(x + 4)(x - 11)$, приравняв ее к нулю:
$x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
$x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$
$x - 11 = 0 \implies x_3 = 11$
Расположим найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-4, 2, 11$. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала.
Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=12$:
$(12 - 2)(12 + 4)(12 - 11) = 10 \cdot 16 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
Поскольку все корни имеют нечетную степень (первую), знаки в интервалах будут чередоваться. Расставим знаки на интервалах справа налево:
$(11; +\infty): +$
$(2; 11): -$
$(-4; 2): +$
$(-\infty; -4): -$
Мы ищем решения для неравенства $(x - 2)(x + 4)(x - 11) > 0$, то есть нам нужны интервалы со знаком «+».
Это интервалы $(-4; 2)$ и $(11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, 2) \cup (11, +\infty)$.