Номер 10, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. При каких значениях t верно неравенство:

a) $0,5t^2 \le 81t$;

б) $\frac{t^2}{5t + 20} > 0?$

a) Решим неравенство $0,5t^2 \le 81t$.

Сначала перенесем все члены неравенства в левую часть:

$0,5t^2 - 81t \le 0$

Теперь вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(0,5t - 81) \le 0$

Для решения данного неравенства применим метод интервалов. Для этого найдем корни уравнения $t(0,5t - 81) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$t_1 = 0$

или

$0,5t - 81 = 0$

$0,5t = 81$

$t_2 = \frac{81}{0,5} = 162$

Полученные корни $t=0$ и $t=162$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 162]$ и $[162; \infty)$.

Рассмотрим функцию $f(t) = 0,5t^2 - 81t$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $t^2$ положителен ($0,5 > 0$).

Это означает, что значения функции $f(t)$ будут неположительными (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[0; 162]$.

Ответ: $t \in [0; 162]$.

б) Решим неравенство $\frac{t^2}{5t+20} > 0$.

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $t$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$5t + 20 \neq 0 \implies 5t \neq -20 \implies t \neq -4$.

Теперь рассмотрим знак числителя и знаменателя. Числитель $t^2$ является неотрицательным при любом значении $t$. Он равен нулю при $t=0$ и строго положителен при $t \neq 0$.

Поскольку неравенство строгое ($>0$), то дробь должна быть положительной. Это возможно только тогда, когда и числитель, и знаменатель положительны (так как числитель не может быть отрицательным).

Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} t^2 > 0 \\ 5t+20 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$t^2 > 0 \implies t \neq 0$.

Решим второе неравенство:

$5t + 20 > 0 \implies 5t > -20 \implies t > -4$.

Объединим оба условия: $t$ должно быть больше $-4$ и не равно нулю. На числовой оси это соответствует двум интервалам.

Ответ: $t \in (-4; 0) \cup (0; \infty)$.