Номер 4, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Найдите множество решений неравенства:

a) $5x^2 - 4 < x$;

б) $x^2 + 4 < 3$.

a) Координатная плоскость с осями y, x и началом координат 0.

б) Координатная плоскость с осями y, x и началом координат 0.

Ответ: a) .......................... б) ..........................

а) Чтобы решить неравенство $5x^2 - 4 < x$, сначала преобразуем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c < 0$, перенеся все члены в левую часть:
$5x^2 - x - 4 < 0$
Теперь рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 5x^2 - x - 4$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше нуля ($a=5 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - x - 4 = 0$, чтобы определить точки пересечения параболы с осью Ox.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Мы ищем значения $x$, при которых $5x^2 - x - 4 < 0$, то есть при которых парабола находится ниже оси Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, она принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.
Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-0.8; 1)$.
Ответ: $x \in (-0.8; 1)$

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + 4 < 3$. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 4 - 3 < 0$
$x^2 + 1 < 0$
Проанализируем левую часть полученного неравенства. Выражение $x^2$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет больше или равен 1:
$x^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $x^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, выражение $x^2 + 1$ всегда является положительным и, более того, всегда больше или равно 1. Оно никогда не может быть меньше нуля.
Следовательно, неравенство $x^2 + 1 < 0$ не имеет решений в множестве действительных чисел.

Это также можно показать, рассмотрев график функции $y = x^2 + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0; 1)$. Весь график расположен выше оси Ox, а минимальное значение функции равно 1. Поэтому неравенство $y < 0$ не выполняется ни при каких $x$.
Ответ: нет решений