Номер 12, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. К некоторому количеству раствора, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, в результате чего процентное содержание соли в растворе понизилось на 10%. Сколько воды содержал раствор и каково было процентное содержание соли в нём?

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

Составим и решим уравнение:

Решение. Заполним таблицу по условию задачи.

Пусть $x$ г — это масса воды, которая изначально содержалась в растворе. Масса соли по условию составляет 40 г. Таким образом, первоначальная масса всего раствора была $(40 + x)$ г.

Процентное содержание соли в первоначальном растворе равно $\frac{40}{40 + x} \cdot 100\%$.

После добавления 200 г воды, общая масса раствора увеличилась и стала $(40 + x + 200) = (x + 240)$ г. Масса соли при этом осталась неизменной. Новое процентное содержание соли в растворе стало равно $\frac{40}{x + 240} \cdot 100\%$.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Составим и решим уравнение:

Согласно условию, процентное содержание соли понизилось на 10%. Это значит, что разница между первоначальной и конечной концентрацией равна 10.

$\frac{40}{40 + x} \cdot 100 - \frac{40}{x + 240} \cdot 100 = 10$

Разделим обе части уравнения на 10 для упрощения:

$\frac{400}{40 + x} - \frac{400}{x + 240} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(40 + x)(x + 240)$:

$\frac{400(x + 240) - 400(40 + x)}{(40 + x)(x + 240)} = 1$

Раскроем скобки в числителе: $400x + 96000 - 16000 - 400x = 80000$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{80000}{(40 + x)(x + 240)} = 1$

Отсюда следует, что знаменатель равен числителю:

$(40 + x)(x + 240) = 80000$

Раскроем скобки в левой части:

$40x + 9600 + x^2 + 240x = 80000$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 280x + 9600 - 80000 = 0$

$x^2 + 280x - 70400 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 280^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70400) = 78400 + 281600 = 360000$

$\sqrt{D} = \sqrt{360000} = 600$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-280 + 600}{2} = \frac{320}{2} = 160$

$x_2 = \frac{-280 - 600}{2} = \frac{-880}{2} = -440$

Поскольку масса воды ($x$) не может быть отрицательной, корень $x_2 = -440$ не является решением задачи. Таким образом, мы нашли ответ на первый вопрос.

Сколько воды содержал раствор

Начальное количество воды в растворе, найденное из уравнения, составляет 160 г.

Ответ: 160 г.

каково было процентное содержание соли в нём

Первоначальная масса раствора равна сумме масс соли и воды: $40 \text{ г} + 160 \text{ г} = 200 \text{ г}$.

Процентное содержание соли в первоначальном растворе вычисляется по формуле: $C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\% = \frac{40}{200} \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.