Номер 8, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Расстояние между пристанями А и В равно 24 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 15 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 5 км/ч.

Решение. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки.

Заполним таблицу:

v, км/ч s, км t, ч

По течению реки

Против течения

Плот плыл .................... ч, а моторная лодка потратила на дорогу туда и обратно времени на 1 ч меньше, чем понадобилось плоту, т. е. .................... ч.

Составим и решим уравнение:

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки. Из условия известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x+5)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x-5)$ км/ч. Расстояние между пристанями A и B равно 24 км.

Заполним таблицу:

Плот плыл ... ч, а моторная лодка потратила на дорогу туда и обратно времени на 1 ч меньше, чем понадобилось плоту, т. е. ... ч.

Найдем значения для пропусков в этом утверждении. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. По условию, к моменту возвращения лодки в пункт А, плот проплыл 15 км. Следовательно, время движения плота составляет:

$t_{плота} = \frac{s_{плота}}{v_{плота}} = \frac{15 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

Моторная лодка отправилась на 1 час позже плота, поэтому ее общее время движения на 1 час меньше, чем у плота:

$t_{лодки} = 3 \text{ часа} - 1 \text{ час} = 2$ часа.

Таким образом, утверждение будет выглядеть так: Плот плыл 3 ч, а моторная лодка потратила на дорогу туда и обратно времени на 1 ч меньше, чем понадобилось плоту, т. е. 2 ч.

Составим и решим уравнение:

Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения. Используя данные из таблицы и найденное общее время движения лодки (2 часа), получаем уравнение:

$\frac{24}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 2$

По смыслу задачи, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, чтобы она могла двигаться против течения, поэтому $x > 5$.

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$\frac{12}{x+5} + \frac{12}{x-5} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$:

$\frac{12(x-5) + 12(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 1$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} = 1$

$\frac{24x}{x^2 - 25} = 1$

При условии $x^2 - 25 \neq 0$, это уравнение равносильно следующему:

$24x = x^2 - 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 24x - 25 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 24, а их произведение равно -25. Корни уравнения:

$x_1 = 25$

$x_2 = -1$

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 25$ удовлетворяет условию $x > 5$.

Следовательно, собственная скорость моторной лодки равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.