Номер 7, страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Два экскаватора, работая совместно, вырыли котлован для водоёма за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы на рытьё котлована каждому экскаватору в отдельности, если один из них мог выполнить эту работу на 5 дней быстрее другого?

Решение. Заполним таблицу:

Работа, ед. Производительность, ед./дней Время, дней

Первый экскаватор 1 $1/x$ $x$

Второй экскаватор 1 $1/(x+5)$ $x+5$

Вместе 1 $1/6$ 6

По условию задачи экскаваторы вместе вырыли котлован за 6 дней, то есть выполнили всю работу.

Составим и решим уравнение:

Обозначим всю работу по рытью котлована за 1 единицу. Пусть время, за которое первый (более быстрый) экскаватор может вырыть котлован самостоятельно, равно $x$ дней. Тогда его производительность составляет $\frac{1}{x}$ работы в день. По условию, второй экскаватор выполняет эту же работу на 5 дней дольше, то есть за $x+5$ дней. Его производительность, соответственно, равна $\frac{1}{x+5}$ работы в день. Работая вместе, они выполняют всю работу за 6 дней, значит, их совместная производительность составляет $\frac{1}{6}$ работы в день.

Заполним таблицу:

Составим и решим уравнение:

Совместная производительность равна сумме производительностей каждого экскаватора:

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6} $

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$ \frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6} $

$ \frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6} $

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$ 6(2x+5) = 1(x^2+5x) $

$ 12x + 30 = x^2 + 5x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 + 5x - 12x - 30 = 0 $

$ x^2 - 7x - 30 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $

$ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Следовательно, время, необходимое первому экскаватору для выполнения работы, составляет 10 дней.

Тогда время, необходимое второму экскаватору, равно $x + 5 = 10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: первому экскаватору потребовалось бы 10 дней, а второму — 15 дней.