Номер 4, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Товарный поезд был задержан в пути на 30 мин, а затем на расстоянии 90 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость товарного поезда. После увеличения скорости она стала равна $(x + 15)$ км/ч.

Время, которое поезд должен был затратить на прохождение 90 км с первоначальной скоростью, составляет $t_1 = \frac{90}{x}$ часов.

После увеличения скорости поезд проехал 90 км за время $t_2 = \frac{90}{x + 15}$ часов.

Поезд был задержан на 30 минут, что составляет $30 \text{ мин} = 0.5$ часа. Эту задержку он наверстал на 90-километровом участке, то есть проехал его на 0.5 часа быстрее, чем планировалось.

Таким образом, разница между плановым временем и фактическим временем прохождения этого участка равна времени задержки. Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = 0.5$

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x + 15} = 0.5$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{90(x + 15) - 90x}{x(x + 15)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{90x + 1350 - 90x}{x^2 + 15x} = 0.5$

$\frac{1350}{x^2 + 15x} = 0.5$

Используя свойство пропорции, получим:

$0.5(x^2 + 15x) = 1350$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$x^2 + 15x = 2700$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 2700 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2700) = 225 + 10800 = 11025$

$\sqrt{D} = \sqrt{11025} = 105$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 105}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 105}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.