Номер 10, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Когда первая труба проработала 7 ч, включили вторую трубу. Вместе они работали 2 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, работая отдельно, если ей потребуется на это на 4 ч больше, чем второй?

Решение. Заполним таблицу:

По условию задачи первая труба работала ..................... ч и заполнила ..................... (часть бассейна), вторая труба за ..................... ч заполнила ..................... (часть бассейна). В результате они вместе заполнили бассейн, т. е. выполнили всю работу.

Составим и решим уравнение:

Решение. Заполним таблицу:

Пусть время, необходимое второй трубе для заполнения бассейна, составляет $x$ часов. Согласно условию, первой трубе потребуется на 4 часа больше, то есть $(x+4)$ часов. Всю работу по заполнению бассейна примем за 1 единицу. Производительность (скорость заполнения) вычисляется как отношение работы ко времени.

Из условия задачи следует, что первая труба работала сначала 7 часов одна, а потом еще 2 часа вместе со второй. Таким образом, общее время работы первой трубы составило $7 + 2 = 9$ часов. За это время она выполнила часть работы, равную $9 \cdot \frac{1}{x+4} = \frac{9}{x+4}$.

Вторая труба работала только 2 часа вместе с первой и за это время выполнила часть работы, равную $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Так как в результате совместной работы они заполнили весь бассейн, сумма выполненных ими частей работы равна 1.

Составим и решим уравнение:

$\frac{9}{x+4} + \frac{2}{x} = 1$

Область допустимых значений для переменной $x$ — $x > 0$, поскольку время не может быть отрицательным или равным нулю. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{9x + 2(x+4)}{x(x+4)} = 1$

Умножим обе части уравнения на $x(x+4)$, так как на ОДЗ он не равен нулю:

$9x + 2(x+4) = x(x+4)$

Раскроем скобки:

$9x + 2x + 8 = x^2 + 4x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:

$11x + 8 = x^2 + 4x$

$x^2 - 7x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно -8. Корнями являются числа 8 и -1.

$x_1 = 8$, $x_2 = -1$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, работая отдельно, равно 8 часам.

Теперь найдем время, необходимое для наполнения бассейна первой трубой:

$x + 4 = 8 + 4 = 12$ (часов).

Ответ: 12 часов.