Номер 5, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

5. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{(x - 15)(17 - x)};$

б) $y = \sqrt{(2x - x^2)(x + 11)}.$

а)

Область определения функции $y = \sqrt{(x - 15)(17 - x)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Запишем соответствующее неравенство:
$(x - 15)(17 - x) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 15)(17 - x) = 0$.
$x - 15 = 0 \implies x_1 = 15$
$17 - x = 0 \implies x_2 = 17$

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут включены в решение. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; 15]$, $[15; 17]$ и $[17; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 15)(17 - x)$ на каждом из интервалов:
- для интервала $(-\infty; 15]$ (возьмем $x=0$): $(0 - 15)(17 - 0) = -255 < 0$. Знак «-».
- для интервала $[15; 17]$ (возьмем $x=16$): $(16 - 15)(17 - 16) = 1 \cdot 1 = 1 > 0$. Знак «+».
- для интервала $[17; +\infty)$ (возьмем $x=20$): $(20 - 15)(17 - 20) = 5 \cdot (-3) = -15 < 0$. Знак «-».

Нас интересует промежуток, где выражение неотрицательно, то есть имеет знак «+» или равно нулю. Это промежуток $[15; 17]$.
Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, удовлетворяющие условию $15 \le x \le 17$.

Ответ: $D(y) = [15; 17]$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{(2x - x^2)(x + 11)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем неравенство:
$(2x - x^2)(x + 11) \ge 0$

Разложим первый множитель на более простые: $2x - x^2 = x(2 - x)$.
Неравенство принимает вид:
$x(2 - x)(x + 11) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения $x(2 - x)(x + 11)$:
$x_1 = 0$
$2 - x = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 11 = 0 \implies x_3 = -11$

Отметим точки $-11$, $0$ и $2$ на числовой прямой. Точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11]$, $[-11; 0]$, $[0; 2]$ и $[2; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(2 - x)(x + 11)$ на каждом интервале:
- для интервала $(-\infty; -11]$ (возьмем $x=-12$): $(-12)(2 - (-12))(-12 + 11) = (-12)(14)(-1) > 0$. Знак «+».
- для интервала $[-11; 0]$ (возьмем $x=-1$): $(-1)(2 - (-1))(-1 + 11) = (-1)(3)(10) < 0$. Знак «-».
- для интервала $[0; 2]$ (возьмем $x=1$): $(1)(2 - 1)(1 + 11) = (1)(1)(12) > 0$. Знак «+».
- для интервала $[2; +\infty)$ (возьмем $x=3$): $(3)(2 - 3)(3 + 11) = (3)(-1)(14) < 0$. Знак «-».

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (знак «+» или равно нулю). Это объединение промежутков $(-\infty; -11]$ и $[0; 2]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -11] \cup [0; 2]$.