Номер 13, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $\frac{x^4 - 3x^3 - 8x + 24}{6-x} > 0.$

Для решения данного неравенства $\frac{x^4 - 3x^3 - 8x + 24}{6 - x} > 0$ необходимо найти нули числителя и знаменателя, а затем использовать метод интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $6 - x \neq 0$ $x \neq 6$

2. Найдем нули числителя.
Приравняем числитель к нулю: $x^4 - 3x^3 - 8x + 24 = 0$ Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $(x^4 - 3x^3) - (8x - 24) = 0$ $x^3(x - 3) - 8(x - 3) = 0$ $(x - 3)(x^3 - 8) = 0$ Разложим второй множитель как разность кубов ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$): $(x - 3)(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ Найдем корни этого уравнения: $x - 3 = 0 \implies x = 3$ $x - 2 = 0 \implies x = 2$ Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 2x + 4 = 0$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$ Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

3. Упростим исходное неравенство.
Заменим числитель на его разложение на множители: $\frac{(x - 2)(x - 3)(x^2 + 2x + 4)}{6 - x} > 0$ Поскольку множитель $(x^2 + 2x + 4)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{6 - x} > 0$ Для удобства решения методом интервалов умножим обе части неравенства на -1, чтобы в знаменателе переменная $x$ была с положительным коэффициентом. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{-(x - 6)} > 0$ $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 6} < 0$

4. Решим неравенство методом интервалов.
Отметим на числовой оси нули числителя ($x=2$, $x=3$) и нуль знаменателя ($x=6$). Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки выражения $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 6}$ на каждом из интервалов:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{(+)(+)}{(+)} = +$
• При $3 < x < 6$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(-)} = -$
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} = +$
• При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)}{(-)} = -$

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (отрицательно). Решением неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; 6)$.

5. Найдем наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству.
Целые числа, входящие в полученные интервалы:
Из интервала $(-\infty; 2)$: ..., -2, -1, 0, 1.
Из интервала $(3; 6)$: 4, 5.
Наибольшим целым числом из всего множества решений является 5.

Ответ: 5.