Номер 11, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. При каких значениях k биквадратное уравнение $x^4 - 36x^2 + 2k = 0$ имеет четыре корня?

Данное уравнение $x^4 - 36x^2 + 2k = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то и $t$ должно быть неотрицательным, то есть $t \ge 0$. После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$: $t^2 - 36t + 2k = 0$

Исходное биквадратное уравнение будет иметь четыре различных действительных корня тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение для $t$ будет иметь два различных положительных корня, назовем их $t_1$ и $t_2$. В этом случае для каждого положительного значения $t$ мы получим по два различных корня для $x$: $x = \pm\sqrt{t_1}$ и $x = \pm\sqrt{t_2}$. Если $t_1, t_2 > 0$ и $t_1 \ne t_2$, то все четыре корня для $x$ будут различными.

Квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ имеет два различных положительных корня, если одновременно выполняются три условия:
1. Дискриминант положителен: $D > 0$.
2. Сумма корней положительна: $t_1 + t_2 > 0$.
3. Произведение корней положительно: $t_1 \cdot t_2 > 0$.

Рассмотрим эти условия для уравнения $t^2 - 36t + 2k = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-36$, $c=2k$.

1. Условие на дискриминант
Дискриминант $D$ должен быть строго положительным, чтобы уравнение имело два различных корня. $D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k) = 1296 - 8k$
Решим неравенство $D > 0$: $1296 - 8k > 0$ $1296 > 8k$ $k < \frac{1296}{8}$ $k < 162$

2. Условие на сумму корней
Согласно теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a}$. $t_1 + t_2 = -\frac{-36}{1} = 36$
Условие $t_1 + t_2 > 0$ выполняется, так как $36 > 0$. Это верно для любого значения $k$.

3. Условие на произведение корней
Согласно теореме Виета, произведение корней $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$. $t_1 \cdot t_2 = \frac{2k}{1} = 2k$
Чтобы оба корня были положительными (при условии, что их сумма уже положительна), их произведение также должно быть положительным. $2k > 0$ $k > 0$

Для нахождения искомых значений $k$ необходимо, чтобы все три условия выполнялись одновременно. Объединим полученные неравенства в систему: $\begin{cases} k < 162 \\ k > 0 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $(0; 162)$.

Ответ: $k \in (0; 162)$.