Номер 8, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. При каких значениях $a$ равны значения выражений $\frac{a^4 + 2a^3}{3}$ и $a^2 - 30?$

Для того чтобы найти значения a, при которых значения выражений равны, приравняем их друг к другу:

$\frac{a^4 + 2a^3}{3} = a^2 - 30$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$a^4 + 2a^3 = 3(a^2 - 30)$

$a^4 + 2a^3 = 3a^2 - 90$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить многочлен, равный нулю:

$a^4 + 2a^3 - 3a^2 + 90 = 0$

Теперь проанализируем левую часть уравнения. Вынесем $a^2$ за скобки у первых трех слагаемых:

$a^2(a^2 + 2a - 3) + 90 = 0$

Разложим квадратный трехчлен $a^2 + 2a - 3$ на множители. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни равны 1 и -3. Таким образом, $a^2 + 2a - 3 = (a-1)(a+3)$.

Уравнение принимает вид:

$a^2(a-1)(a+3) + 90 = 0$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $(a-1)(a+3)$.

Случай 1: $a$ находится в промежутках $(-\infty, -3]$ или $[1, \infty)$.

В этих промежутках произведение $(a-1)(a+3)$ является неотрицательным, то есть $(a-1)(a+3) \ge 0$.

Поскольку $a^2$ также всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то и все первое слагаемое $a^2(a-1)(a+3)$ будет неотрицательным.

Следовательно, вся левая часть уравнения представляет собой сумму неотрицательного числа и 90:

$a^2(a-1)(a+3) + 90 \ge 0 + 90 = 90$

Значение левой части строго больше нуля, поэтому в этих промежутках уравнение решений не имеет.

Случай 2: $a$ находится в промежутке $(-3, 1)$.

В этом интервале произведение $(a-1)(a+3)$ отрицательно. Следовательно, слагаемое $a^2(a-1)(a+3)$ будет отрицательным или равным нулю (при $a=0$).

Нам нужно проверить, может ли выражение $a^2(a-1)(a+3) + 90$ стать равным нулю. Это произойдет, если $a^2(a-1)(a+3) = -90$.

Можно показать (используя методы математического анализа, выходящие за рамки школьной программы 8-го класса), что минимальное значение выражения $a^4 + 2a^3 - 3a^2$ достигается в этом интервале и равно примерно $-12.36$.

Поскольку минимальное значение первого слагаемого ($ \approx -12.36$) по модулю значительно меньше 90, сумма $a^2(a-1)(a+3) + 90$ всегда будет положительной. Наименьшее значение всего выражения будет примерно $-12.36 + 90 = 77.64$, что далеко от нуля.

Таким образом, левая часть уравнения $a^4 + 2a^3 - 3a^2 + 90$ всегда положительна при любых действительных значениях a. А значит, она никогда не может быть равна нулю.

Ответ: Таких значений a не существует.