Номер 6, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

6. Найдите корни уравнения, используя введение новой переменной:

а) $(x^2 + 1)^2 - 6(x^2 + 1) + 8 = 0;$

б) $(x^2 - 3)^2 = (x^2 - 3) + 2.$

а) Исходное уравнение: $(x^2 + 1)^2 - 6(x^2 + 1) + 8 = 0$.
Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x^2+1)$. Чтобы его решить, введем новую переменную. Пусть $t = x^2 + 1$.
После замены переменной уравнение примет вид квадратного уравнения: $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Решим это уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. Подставим $t_1 = 4$:
$x^2 + 1 = 4$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
2. Подставим $t_2 = 2$:
$x^2 + 1 = 2$
$x^2 = 1$
$x = \pm\sqrt{1} = \pm1$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{3}, -1, 1, \sqrt{3}$.

б) Исходное уравнение: $(x^2 - 3)^2 = (x^2 - 3) + 2$.
Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид:
$(x^2 - 3)^2 - (x^2 - 3) - 2 = 0$.
Введем новую переменную. Пусть $y = x^2 - 3$.
Подставив новую переменную в уравнение, получим квадратное уравнение:
$y^2 - y - 2 = 0$.
Решим его относительно $y$. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
1. Подставим $y_1 = 2$:
$x^2 - 3 = 2$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$.
2. Подставим $y_2 = -1$:
$x^2 - 3 = -1$
$x^2 = 2$
$x = \pm\sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{5}, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{5}$.