Номер 14, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

14. Функция $y=-x^2+6x-5$ определена на отрезке $[0; 6]$. Найдите область значений этой функции.

Для того чтобы найти область значений функции $y = -x^2 + 6x - 5$ на отрезке $[0; 6]$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что свое наибольшее значение функция достигает в вершине параболы.

1. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины $x_v$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=-1$ и $b=6$.
$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
Поскольку значение $x_v = 3$ принадлежит заданному отрезку $[0; 6]$, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться именно в вершине.

Найдем ординату вершины, подставив $x_v=3$ в уравнение функции:
$y_v = y(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $y_{\text{наиб}} = 4$.

2. Найдем значения функции на концах отрезка.
Поскольку вершина параболы находится внутри отрезка, а ее ветви направлены вниз, наименьшее значение функции будет достигаться на одном из концов отрезка: $x=0$ или $x=6$.

Вычислим значение функции в точке $x = 0$:
$y(0) = -(0)^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$.

Вычислим значение функции в точке $x = 6$:
$y(6) = -(6)^2 + 6 \cdot 6 - 5 = -36 + 36 - 5 = -5$.

Наименьшее значение функции на отрезке $y_{\text{наим}} = -5$.

3. Определим область значений.
Мы нашли, что на отрезке $[0; 6]$ наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее равно -5. Следовательно, область значений функции на данном отрезке — это все числа от -5 до 4 включительно.

Ответ: $[-5; 4]$.