Номер 8, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Найдите значение c, при котором наибольшее значение функции $y = -2x^2 + x + c$ равно 1.

Данная функция $y = -2x^2 + x + c$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$, что является отрицательным числом, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция достигает своего наибольшего значения в вершине параболы.

Координаты вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, можно найти по следующим формулам:

Абсцисса (координата x) вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

Ордината (координата y) вершины: $y_0 = y(x_0)$

В нашем случае, для функции $y = -2x^2 + x + c$, коэффициенты равны: $a = -2$, $b = 1$.

Сначала найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$

Наибольшее значение функции — это ордината вершины $y_0$. Чтобы найти ее, подставим значение $x_0 = \frac{1}{4}$ в уравнение функции:

$y_0 = -2 \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{4} + c$

Выполним вычисления:

$y_0 = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + c$

$y_0 = -\frac{2}{16} + \frac{1}{4} + c$

Сократим дробь $-\frac{2}{16}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$y_0 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + c$

$y_0 = \frac{1}{8} + c$

Согласно условию задачи, наибольшее значение функции равно 1. Следовательно, $y_0 = 1$. Мы можем составить и решить уравнение:

$\frac{1}{8} + c = 1$

Найдем $c$:

$c = 1 - \frac{1}{8}$

$c = \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

$c = \frac{7}{8}$

Таким образом, при $c = \frac{7}{8}$ наибольшее значение функции $y = -2x^2 + x + c$ равно 1.

Ответ: $c = \frac{7}{8}$