Номер 2, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Изобразите схематически график функции $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$, определив предварительно координаты вершины параболы $A(m; n)$ и направление её ветвей.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$ необходимо предварительно определить координаты вершины параболы и направление её ветвей.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола вида $y = ax^2 + bx + c$, с коэффициентами $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{4}{3}$, $c = -\frac{8}{3}$.

Направление её ветвей
Поскольку старший коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы A(m; n)
Абсцисса (координата x) вершины вычисляется по формуле $m = -\frac{b}{2a}$. $m = -\frac{-\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Для нахождения ординаты (координаты y) вершины подставим найденное значение $m=2$ в уравнение функции: $n = y(2) = \frac{1}{3}(2)^2 - \frac{4}{3}(2) - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4 - 8 - 8}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $A(2; -4)$.

Для более точного построения найдем точки пересечения графика с осями координат.
При $x=0$, $y = -\frac{8}{3} \approx -2.7$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; -\frac{8}{3})$.
При $y=0$, получаем уравнение $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} = 0$, или $x^2 - 4x - 8 = 0$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
$x_1 \approx 2 - 3.5 = -1.5$, $x_2 \approx 2 + 3.5 = 5.5$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1.5; 0)$ и $(5.5; 0)$.

Ответ:
Схематический график функции, построенный на основе найденных данных (вершина $A(2; -4)$, ветви вверх, точки пересечения с осями).