Номер 11, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. При каких значениях c областью значений функции $y = 2(x-3)^2 + c^2 - 4c + 0.75$ является промежуток $[-3; +\infty)$?

Данная функция $y = 2(x-3)^2 + c^2 - 4c + 0.75$ представляет собой параболу, так как это квадратичная функция относительно переменной $x$.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. В данном уравнении мы можем определить следующие параметры: коэффициент $a=2$, абсцисса вершины $h=3$, и ордината вершины $k = c^2 - 4c + 0.75$.

Поскольку коэффициент $a=2$ является положительным числом ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это значит, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Наименьшее значение функции равно ординате её вершины $k$. Таким образом, область значений функции (множество всех возможных значений $y$) определяется промежутком от наименьшего значения до плюс бесконечности.

Область значений функции: $E(y) = [y_{min}; +\infty) = [c^2 - 4c + 0.75; +\infty)$.

Согласно условию задачи, область значений функции должна быть $[-3; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы наименьшее значение функции было равно -3.

Составим и решим уравнение, приравняв ординату вершины к -3: $c^2 - 4c + 0.75 = -3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $c^2 - 4c + 0.75 + 3 = 0$ $c^2 - 4c + 3.75 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения относительно $c$ воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=-4$, $c=3.75$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3.75 = 16 - 15 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 1}{2}$

Вычисляем значения для $c$: $c_1 = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ $c_2 = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

Следовательно, при значениях $c = 1.5$ и $c = 2.5$ область значений заданной функции будет являться промежутком $[-3; +\infty)$.

Ответ: $1.5; 2.5$.