Номер 10, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Постройте график функции $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ на отрезке $[ -1; 6 ]$.

x   -1   0   1   2   3   4   5   6

y                                                        

Закончите запись:

$D(y)= \ldots, E(y)= \ldots$

$y=0$ при \ldots, $y>0$ при \ldots

\ldots, $y<0$ при \ldots

функция возрастает при \ldots

функция убывает при \ldots

наибольшее значение $y= \ldots$ функция принимает при $x=\ldots$

наименьшее значение $y= \ldots$ функция принимает при $x=\ldots$

Для решения задачи необходимо построить график функции $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ на отрезке $[-1; 6]$ и на его основе определить свойства функции.

1. Заполнение таблицы и построение графика.

Сначала вычислим значения функции для целых чисел $x$ в заданном отрезке, чтобы получить точки для построения графика.

• При $x = -1$: $y = \frac{1}{2}(-1 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-4)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 2 = 8 - 2 = 6$
• При $x = 0$: $y = \frac{1}{2}(0 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-3)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 2 = 4.5 - 2 = 2.5$
• При $x = 1$: $y = \frac{1}{2}(1 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-2)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$
• При $x = 2$: $y = \frac{1}{2}(2 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(-1)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$
• При $x = 3$: $y = \frac{1}{2}(3 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$
• При $x = 4$: $y = \frac{1}{2}(4 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(1)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$
• При $x = 5$: $y = \frac{1}{2}(5 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(2)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0$
• При $x = 6$: $y = \frac{1}{2}(6 - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(3)^2 - 2 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 2 = 4.5 - 2 = 2.5$

Заполненная таблица:

Построение графика: нанесите точки из таблицы на координатную плоскость и соедините их плавной линией. Вы получите часть параболы с вершиной в точке $(3, -2)$.

2. Заполнение пропусков на основе анализа функции и её графика.

$D(y)=$
Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$. По условию задачи функция рассматривается на отрезке $[-1; 6]$.
Ответ: $D(y) = [-1; 6]$.

$E(y)=$
Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает $y$. Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы, так как ветви направлены вверх. Вершина имеет координаты $(3, -2)$, и $x=3$ принадлежит отрезку $[-1; 6]$. Наибольшее значение на отрезке находится на одном из его концов: $y(-1)=6$, $y(6)=2.5$. Максимальное значение равно 6. Таким образом, область значений функции на отрезке — от $-2$ до $6$.
Ответ: $E(y) = [-2; 6]$.

$y=0$ при
Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Решим уравнение $\frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2 = 0$. Перенесем 2 в правую часть и умножим на 2: $(x-3)^2 = 4$. Извлечем корень: $x-3 = \pm 2$. Получаем два корня: $x_1 = 3 - 2 = 1$ и $x_2 = 3 + 2 = 5$. Оба корня принадлежат отрезку $[-1; 6]$.
Ответ: $y=0$ при $x=1, x=5$.

$y>0$ при
Функция положительна, когда её график находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах левее $x=1$ и правее $x=5$. Учитывая область определения $[-1; 6]$, получаем объединение промежутков.
Ответ: $y>0$ при $x \in [-1; 1) \cup (5; 6]$.

$y<0$ при
Функция отрицательна, когда её график находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервале между корнями.
Ответ: $y<0$ при $x \in (1; 5)$.

функция возрастает при
Парабола с ветвями вверх возрастает на промежутке справа от своей вершины ($x=3$). С учетом заданной области определения, функция возрастает на отрезке от $x=3$ до $x=6$.
Ответ: функция возрастает при $x \in [3; 6]$.

функция убывает при
Парабола с ветвями вверх убывает на промежутке слева от своей вершины ($x=3$). С учетом заданной области определения, функция убывает на отрезке от $x=-1$ до $x=3$.
Ответ: функция убывает при $x \in [-1; 3]$.

наибольшее значение $y=$ ... функция принимает при $x=$ ...
Наибольшее значение на отрезке для параболы с ветвями вверх достигается на одном из концов отрезка. Сравним значения: $y(-1)=6$ и $y(6)=2.5$. Наибольшее значение равно 6.
Ответ: наибольшее значение $y=6$ функция принимает при $x=-1$.

наименьшее значение $y=$ ... функция принимает при $x=$ ...
Вершина параболы $(3, -2)$ является точкой минимума. Так как $x=3$ входит в отрезок $[-1; 6]$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно $-2$.
Ответ: наименьшее значение $y=-2$ функция принимает при $x=3$.