Номер 7, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

7. Не выполняя построения, запишите уравнение параболы, симметричной параболе $y=\frac{1}{2}(x-3)^2+7$ относительно:

а) оси y:

б) оси x:

а) оси y:

Чтобы найти уравнение параболы, симметричной данной относительно оси y (оси ординат), необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить переменную $x$ на $-x$. Это преобразование отражает каждую точку графика $(x, y)$ в точку $(-x, y)$.
Исходное уравнение параболы: $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7$.
Произведем замену $x$ на $-x$:
$y = \frac{1}{2}((-x)-3)^2 + 7$
Упростим полученное выражение. Вынесем $-1$ за скобки внутри квадрата:
$y = \frac{1}{2}(-(x+3))^2 + 7$
Так как $(-a)^2 = a^2$, получаем:
$y = \frac{1}{2}(x+3)^2 + 7$
Это и есть искомое уравнение параболы. Вершина исходной параболы $(3, 7)$ симметрично отразилась в точку $(-3, 7)$, что соответствует новому уравнению.
Ответ: $y = \frac{1}{2}(x+3)^2 + 7$

б) оси x:

Чтобы найти уравнение параболы, симметричной данной относительно оси x (оси абсцисс), необходимо в исходном уравнении $y = f(x)$ заменить переменную $y$ на $-y$. Это преобразование отражает каждую точку графика $(x, y)$ в точку $(x, -y)$.
Исходное уравнение параболы: $y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7$.
Произведем замену $y$ на $-y$:
$-y = \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7$
Теперь выразим $y$, умножив обе части уравнения на $-1$:
$y = - \left( \frac{1}{2}(x-3)^2 + 7 \right)$
$y = -\frac{1}{2}(x-3)^2 - 7$
Это и есть искомое уравнение параболы. Вершина исходной параболы $(3, 7)$ симметрично отразилась в точку $(3, -7)$, а ветви параболы, направленные вверх, стали направлены вниз, что соответствует новому уравнению.
Ответ: $y = -\frac{1}{2}(x-3)^2 - 7$