Номер 12, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Изобразите схематически на одном чертеже графики функций:

(1) $y = \frac{x^2}{2\sqrt{3}-4}$; (2) $y = -2x^2$;

(3) $y = 8\sqrt{3}x^2$; (4) $y = \frac{x^2}{5\sqrt{2}-7}$.

а) оси y: .............................

б) оси x: .............................

Для построения графиков функций необходимо проанализировать каждую из них. Все функции имеют вид $y=ax^2$, что соответствует параболе с вершиной в точке (0, 0). Положение и форма параболы определяются коэффициентом $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Чем больше абсолютное значение коэффициента $|a|$, тем более "узкой" (прижатой к оси OY) является парабола.

(1) $y = \frac{x^2}{2\sqrt{3} - 4}$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_1 = \frac{1}{2\sqrt{3} - 4}$.
Оценим знак знаменателя. Сравним $2\sqrt{3}$ и $4$. Для этого сравним их квадраты: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ и $4^2 = 16$. Поскольку $12 < 16$, то $2\sqrt{3} < 4$, и знаменатель $2\sqrt{3} - 4$ отрицателен. Следовательно, коэффициент $a_1 = \frac{1}{2\sqrt{3} - 4} < 0$. Ветви параболы направлены вниз.
Вычислим значение коэффициента, избавившись от иррациональности в знаменателе: $a_1 = \frac{1}{2\sqrt{3} - 4} \cdot \frac{2\sqrt{3} + 4}{2\sqrt{3} + 4} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{(2\sqrt{3})^2 - 4^2} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{12 - 16} = \frac{2(\sqrt{3} + 2)}{-4} = -\frac{\sqrt{3} + 2}{2}$. Приблизительное значение: $a_1 \approx -\frac{1.732 + 2}{2} = -1.866$. Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вниз. Коэффициент $a_1 = -\frac{\sqrt{3} + 2}{2} \approx -1.866$.

(2) $y = -2x^2$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_2 = -2$.
Поскольку $a_2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Сравнивая с предыдущей функцией, видим, что $|a_2| = 2$, а $|a_1| \approx 1.866$. Так как $|a_2| > |a_1|$, эта парабола будет "уже", чем парабола (1). Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вниз. Коэффициент $a_2 = -2$.

(3) $y = 8\sqrt{3}x^2$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_3 = 8\sqrt{3}$.
Поскольку $\sqrt{3} > 0$, коэффициент $a_3 > 0$. Ветви параболы направлены вверх.
Приблизительное значение: $a_3 = 8\sqrt{3} \approx 8 \cdot 1.732 = 13.856$. Большое значение коэффициента говорит о том, что парабола очень "узкая". Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх. Коэффициент $a_3 = 8\sqrt{3} \approx 13.856$.

(4) $y = \frac{x^2}{5\sqrt{2} - 7}$

Это парабола вида $y=ax^2$ с коэффициентом $a_4 = \frac{1}{5\sqrt{2} - 7}$.
Оценим знак знаменателя. Сравним $5\sqrt{2}$ и $7$. Их квадраты: $(5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ и $7^2 = 49$. Поскольку $50 > 49$, то $5\sqrt{2} > 7$, и знаменатель $5\sqrt{2} - 7$ положителен. Следовательно, коэффициент $a_4 > 0$. Ветви параболы направлены вверх.
Вычислим значение коэффициента: $a_4 = \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} \cdot \frac{5\sqrt{2} + 7}{5\sqrt{2} + 7} = \frac{5\sqrt{2} + 7}{(5\sqrt{2})^2 - 7^2} = \frac{5\sqrt{2} + 7}{50 - 49} = 5\sqrt{2} + 7$. Приблизительное значение: $a_4 \approx 5 \cdot 1.414 + 7 = 7.07 + 7 = 14.07$.
Сравнивая с предыдущей функцией, $|a_4| > |a_3|$ ($14.07 > 13.856$), поэтому эта парабола будет немного "уже", чем парабола (3). Ответ: Парабола с вершиной в (0,0), ветви направлены вверх. Коэффициент $a_4 = 5\sqrt{2} + 7 \approx 14.07$.

Схематическое изображение графиков на одном чертеже

На основе проведенного анализа строим графики всех четырех функций.

• Параболы (1) и (2) открываются вниз, причем парабола (2) более узкая, чем (1).
• Параболы (3) и (4) открываются вверх, они значительно уже, чем параболы (1) и (2). Парабола (4) немного уже, чем (3).