Номер 8, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. При каких значениях k парабола $y=kx^2$ не имеет общих точек с прямой $y=4x-1$?

Для того чтобы найти значения параметра $k$, при которых парабола $y=kx^2$ и прямая $y=4x-1$ не имеют общих точек, необходимо определить, при каких $k$ система уравнений не имеет решений:

$ \begin{cases} y = kx^2 \\ y = 4x - 1 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы возможных точек пересечения:

$kx^2 = 4x - 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$kx^2 - 4x + 1 = 0$

Графики функций не имеют общих точек, если это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $k=0$, уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 - 4x + 1 = 0$

$-4x + 1 = 0$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

В этом случае уравнение имеет один корень, а значит, графики имеют одну точку пересечения. Следовательно, значение $k=0$ не является решением задачи.

2. Если $k \neq 0$, уравнение $kx^2 - 4x + 1 = 0$ является квадратным. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения, где коэффициенты $a=k$, $b=-4$, $c=1$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot k \cdot 1 = 16 - 4k$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$16 - 4k < 0$

Перенесем $4k$ в правую часть:

$16 < 4k$

Разделим обе части неравенства на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства сохраняется):

$4 < k$

Таким образом, при $k > 4$ уравнение не имеет действительных корней, а значит, парабола и прямая не имеют общих точек.

Ответ: $k > 4$.