Номер 9, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. При каких значениях k прямая $y=3-2x$ касается:

а) параболы $y=(k-2)x^2$;

б) гиперболы $y=\frac{k+1}{x}$?

а) параболы $y=(k-2)x^2$

Для того чтобы прямая $y=3-2x$ касалась параболы $y=(k-2)x^2$, система уравнений, описывающая их общие точки, должна иметь ровно одно решение. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$3-2x = (k-2)x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$(k-2)x^2 + 2x - 3 = 0$

При условии, что $k-2 \neq 0$ (т.е. $k \neq 2$), это уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет единственное действительное решение, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$a = k-2$

$b = 2$

$c = -3$

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = 2^2 - 4 \cdot (k-2) \cdot (-3) = 0$

$4 + 12(k-2) = 0$

$4 + 12k - 24 = 0$

$12k - 20 = 0$

$12k = 20$

$k = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Это значение $k$ не равно 2, поэтому наше предположение было верным.

Отдельно рассмотрим случай $k=2$. Уравнение параболы превращается в $y = (2-2)x^2 = 0$. Это уравнение прямой (оси абсцисс). Прямая $y=3-2x$ пересекает прямую $y=0$ в одной точке, но не касается ее, так как их угловые коэффициенты различны ($-2$ и $0$). Касание подразумевает совпадение не только координат точки, но и наклона (производной) в этой точке.

Таким образом, единственное значение $k$, при котором прямая касается параболы, это $k = \frac{5}{3}$.

Ответ: $k = \frac{5}{3}$

б) гиперболы $y=\frac{k+1}{x}$

Условие касания прямой $y=3-2x$ и гиперболы $y=\frac{k+1}{x}$ также заключается в том, что система их уравнений должна иметь единственное решение. Заметим, что для гиперболы $x \neq 0$.

Приравняем правые части уравнений:

$3-2x = \frac{k+1}{x}$

Так как $x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:

$x(3-2x) = k+1$

$3x - 2x^2 = k+1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2x^2 - 3x + (k+1) = 0$

Это уравнение должно иметь одно действительное решение. Для этого его дискриминант $D$ должен быть равен нулю.

Коэффициенты уравнения:

$a = 2$

$b = -3$

$c = k+1$

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k+1) = 0$

$9 - 8(k+1) = 0$

$9 - 8k - 8 = 0$

$1 - 8k = 0$

$8k = 1$

$k = \frac{1}{8}$

При $k=\frac{1}{8}$ единственное решение для $x$ (абсцисса точки касания) равно $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$. Это значение не равно нулю, поэтому оно является допустимым.

Ответ: $k = \frac{1}{8}$