Номер 3, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

3. При каких значениях $a$ функция $y=(a-3)x^2+13$ имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция $y = (a - 3)x^2 + 13$ имеет нули, необходимо приравнять её к нулю и определить, при каких $a$ полученное уравнение будет иметь действительные решения относительно $x$.

Приравниваем функцию к нулю:

$(a - 3)x^2 + 13 = 0$

Для решения этого уравнения относительно $x$, выразим $x^2$:

$(a - 3)x^2 = -13$

Далее рассмотрим два возможных случая для коэффициента при $x^2$.

1. Если коэффициент $(a - 3)$ равен нулю, то есть $a = 3$.
Подставив это значение в уравнение, получаем: $0 \cdot x^2 = -13$, что упрощается до $0 = -13$. Это равенство неверно, следовательно, при $a = 3$ уравнение не имеет решений, и функция не имеет нулей.

2. Если коэффициент $(a - 3)$ не равен нулю, то есть $a \ne 3$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - 3)$:

$x^2 = \frac{-13}{a-3}$

Уравнение имеет действительные корни только в том случае, если выражение в правой части неотрицательно, поскольку квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным. Таким образом, должно выполняться неравенство:

$\frac{-13}{a-3} \ge 0$

Числитель этой дроби, $-13$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была положительной (или равной нулю, что в данном случае невозможно, так как числитель не равен нулю), знаменатель $(a-3)$ также должен быть отрицательным. Знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Следовательно, получаем строгое неравенство:

$a - 3 < 0$

Решив это неравенство, находим:

$a < 3$

Таким образом, функция $y = (a - 3)x^2 + 13$ имеет нули при всех значениях $a$, меньших 3.

Ответ: $a < 3$