Номер 12, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Пересекает ли параболу $y=-(x-2)^2+4$ прямая:

a) $y=-5$;

б) $y=8$;

в) $y=-60$;

г) $y=x$?

При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.

Ответ:

a) .....................

б) .....................

в) .....................

г) .....................

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, нужно решить систему уравнений. Уравнение параболы: $y = -(x - 2)^2 + 4$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями, направленными вниз. Максимальное значение функции $y$ равно 4.

а) Проверим пересечение с прямой $y = -5$.

Приравняем правые части уравнений параболы и прямой:
$-(x - 2)^2 + 4 = -5$
$-(x - 2)^2 = -5 - 4$
$-(x - 2)^2 = -9$
$(x - 2)^2 = 9$
$x - 2 = \pm\sqrt{9}$
$x - 2 = \pm3$

Находим два значения $x$:
$x_1 = 3 + 2 = 5$
$x_2 = -3 + 2 = -1$

Так как $y$ для всех точек на этой прямой равен -5, координаты точек пересечения: $(5, -5)$ и $(-1, -5)$.
Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(5, -5)$ и $(-1, -5)$.

б) Проверим пересечение с прямой $y = 8$.

Максимальное значение для параболы $y = -(x - 2)^2 + 4$ равно 4 (в вершине). Поскольку $8 > 4$, прямая $y = 8$ проходит выше вершины параболы и не может ее пересекать.
Алгебраическая проверка:
$-(x - 2)^2 + 4 = 8$
$-(x - 2)^2 = 4$
$(x - 2)^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: Нет, не пересекает.

в) Проверим пересечение с прямой $y = -60$.

Приравняем правые части уравнений:
$-(x - 2)^2 + 4 = -60$
$-(x - 2)^2 = -60 - 4$
$-(x - 2)^2 = -64$
$(x - 2)^2 = 64$
$x - 2 = \pm\sqrt{64}$
$x - 2 = \pm8$

Находим два значения $x$:
$x_1 = 8 + 2 = 10$
$x_2 = -8 + 2 = -6$

Координаты точек пересечения: $(10, -60)$ и $(-6, -60)$.
Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(10, -60)$ и $(-6, -60)$.

г) Проверим пересечение с прямой $y = x$.

Приравняем правые части уравнений:
$-(x - 2)^2 + 4 = x$
$-(x^2 - 4x + 4) + 4 = x$
$-x^2 + 4x - 4 + 4 = x$
$-x^2 + 4x = x$
$-x^2 + 3x = 0$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$

Находим два значения $x$:
$x_1 = 0$
$x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y=x$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$.
При $x_2 = 3$, $y_2 = 3$.

Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.
Ответ: Да, пересекает. Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.