Номер 9, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Найдите область значений функции:

а) $y = 2x^2 - 0,8x + 0,01$;

б) $y = -x^2 + 3x + 1,75$.

а) $y = 2x^2 - 0,8x + 0,01$

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола. Область значений квадратичной функции зависит от направления ветвей параболы и ординаты ее вершины.

Коэффициент при $x^2$ в данном уравнении $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a = 2$ и $b = -0,8$. Подставим эти значения в формулу:

$x_v = -\frac{-0,8}{2 \cdot 2} = \frac{0,8}{4} = 0,2$

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив найденное значение $x_v$ в исходное уравнение функции:

$y_v = 2(0,2)^2 - 0,8(0,2) + 0,01 = 2 \cdot 0,04 - 0,16 + 0,01 = 0,08 - 0,16 + 0,01 = -0,07$

Таким образом, наименьшее значение функции равно $-0,07$. Область значений функции — это все числа от $-0,07$ включительно до плюс бесконечности.

Ответ: $[-0,07; +\infty)$.

б) $y = -x^2 + 3x + 1,75$

Это также квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по той же формуле:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

В этом случае $a = -1$ и $b = 3$:

$x_v = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{-2} = 1,5$

Найдем ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = 1,5$ в уравнение функции:

$y_v = -(1,5)^2 + 3 \cdot 1,5 + 1,75 = -2,25 + 4,5 + 1,75 = 2,25 + 1,75 = 4$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $4$. Область значений функции — это все числа от минус бесконечности до $4$ включительно.

Ответ: $(-\infty; 4]$.