Номер 4, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

4. Решите уравнение, используя разложение многочлена на множители:

$x^5 + 8x^4 - x - 8 = 0;$

$(x^5 + 8x^4) - (x + 8) = 0;$

$x^4(x + 8) - (x + 8) = 0;$

$(x + 8)(x^4 - 1) = 0; (x + 8)(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0;$

$(x + 8)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0;$

$x + 8 = 0$, или $x - 1 = 0$, или $x + 1 = 0$, или $x^2 + 1 = 0;$

$x_1 = -8, x_2 = 1, x_3 = -1.$

а) $y^3 - 5y^2 = 0;$

б) $y^3 - y - 2y^2 + 2 = 0;$

в) $y^3 - 4y + y^2 - 4 = 0.$

Ответ: а)

б) в)

а) Решим уравнение $y^3 - 5y^2 = 0$.
Для решения вынесем общий множитель $y^2$ за скобки:
$y^2(y - 5) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
$y^2 = 0$ или $y - 5 = 0$.
Из первого уравнения находим корень $y_1 = 0$.
Из второго уравнения находим корень $y_2 = 5$.
Ответ: $0; 5$.

б) Решим уравнение $y^3 - y - 2y^2 + 2 = 0$.
Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сначала изменим порядок членов:
$y^3 - 2y^2 - y + 2 = 0$
Теперь сгруппируем их:
$(y^3 - 2y^2) - (y - 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y^2(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
Вынесем общий множитель $(y - 2)$ за скобки:
$(y - 2)(y^2 - 1) = 0$
Выражение $y^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(y - 1)(y + 1)$. Получаем:
$(y - 2)(y - 1)(y + 1) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y_1 = 2$
$y - 1 = 0 \Rightarrow y_2 = 1$
$y + 1 = 0 \Rightarrow y_3 = -1$
Ответ: $-1; 1; 2$.

в) Решим уравнение $y^3 - 4y + y^2 - 4 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Изменим порядок членов для удобства:
$y^3 + y^2 - 4y - 4 = 0$
Сгруппируем попарно:
$(y^3 + y^2) - (4y + 4) = 0$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$y^2(y + 1) - 4(y + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:
$(y + 1)(y^2 - 4) = 0$
Выражение $y^2 - 4$ является разностью квадратов и раскладывается как $(y - 2)(y + 2)$. Получаем:
$(y + 1)(y - 2)(y + 2) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$y + 1 = 0 \Rightarrow y_1 = -1$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y_3 = -2$
Ответ: $-2; -1; 2$.