Номер 10, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Найдите корни уравнения $x^4 - 41x^2 + 400 = 0$ и сравните сумму и произведение корней с коэффициентами при $x^4, x^3, x^2, x, x^0$.

1. Нахождение корней уравнения

Данное уравнение $x^4 - 41x^2 + 400 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 41y + 400 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400 = 1681 - 1600 = 81$

$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 + 9}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{41 - 9}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Оба значения $y$ положительны, что удовлетворяет условию $y \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Для $y_1 = 25$:

$x^2 = 25$

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Для $y_2 = 16$:

$x^2 = 16$

$x_3 = 4$, $x_4 = -4$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня: $-5, -4, 4, 5$.

Ответ: Корни уравнения: $-5, -4, 4, 5$.

2. Сравнение суммы и произведения корней с коэффициентами

Запишем исходное уравнение в общем виде, указав все коэффициенты:

$1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^3 - 41 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 400 = 0$

Коэффициенты при степенях $x$:

• коэффициент при $x^4$ равен $1$
• коэффициент при $x^3$ равен $0$
• коэффициент при $x^2$ равен $-41$
• коэффициент при $x$ (т.е. $x^1$) равен $0$
• коэффициент при $x^0$ (свободный член) равен $400$

Теперь найдем сумму и произведение найденных корней: $x_1 = -5, x_2 = -4, x_3 = 4, x_4 = 5$.

Сумма корней:

$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = (-5) + (-4) + 4 + 5 = 0$

Сравнение: Сумма корней равна 0. Коэффициент при $x^3$ в уравнении также равен 0. Согласно обобщенной теореме Виета, для приведенного уравнения (коэффициент при старшей степени равен 1) сумма корней равна коэффициенту при $x^3$, взятому с противоположным знаком. В нашем случае это $-0=0$. Совпадение подтверждается.

Произведение корней:

$P = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = (-5) \cdot (-4) \cdot 4 \cdot 5 = 20 \cdot 20 = 400$

Сравнение: Произведение корней равно 400. Свободный член уравнения (коэффициент при $x^0$) также равен 400. По теореме Виета, для приведенного уравнения четвертой степени произведение корней равно свободному члену. Совпадение подтверждается.

Для полноты анализа сравним и другие соотношения из теоремы Виета:

• Сумма попарных произведений корней: $(-5)(-4) + (-5)(4) + (-5)(5) + (-4)(4) + (-4)(5) + (4)(5) = 20 - 20 - 25 - 16 - 20 + 20 = -41$. Это в точности равно коэффициенту при $x^2$.
• Сумма произведений корней, взятых по три: $(-5)(-4)(4) + (-5)(-4)(5) + (-5)(4)(5) + (-4)(4)(5) = 80 + 100 - 100 - 80 = 0$. Это равно коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком ($-0 = 0$).

Ответ: Сумма корней равна 0, что соответствует коэффициенту при $x^3$ (он равен 0). Произведение корней равно 400, что соответствует свободному члену уравнения (коэффициенту при $x^0$).