Номер 12, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Решите уравнение $(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)=120.$

Решение. Так как $5+8=6+7$, то удобно каждое из произведений $(x+5)(x+8)$ и $(x+6)(x+7)$ заменить многочленом: ...............

и ............... . Введём вспомогательную переменную ...............

............... . Получим уравнение ...............

Решение.

Дано уравнение: $(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)=120$.

Так как $5+8 = 13$ и $6+7 = 13$, удобно перегруппировать множители в уравнении, чтобы выделить общую часть:

$((x+5)(x+8)) \cdot ((x+6)(x+7)) = 120$

Теперь раскроем скобки в каждой из пар.

Первое произведение: $(x+5)(x+8) = x^2 + 8x + 5x + 40 = x^2 + 13x + 40$.

Второе произведение: $(x+6)(x+7) = x^2 + 7x + 6x + 42 = x^2 + 13x + 42$.

Подставим полученные многочлены обратно в уравнение:

$(x^2 + 13x + 40)(x^2 + 13x + 42) = 120$

Введём вспомогательную переменную, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = x^2 + 13x$.

Получим уравнение относительно переменной $t$:

$(t + 40)(t + 42) = 120$

Раскроем скобки и приведём его к стандартному квадратному виду:

$t^2 + 42t + 40t + 1680 = 120$

$t^2 + 82t + 1680 - 120 = 0$

$t^2 + 82t + 1560 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 82^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1560 = 6724 - 6240 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Корень из дискриминанта: $\sqrt{484} = 22$.

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-82 + 22}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-82 - 22}{2} = \frac{-104}{2} = -52$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = -30$, то получаем уравнение:

$x^2 + 13x = -30$

$x^2 + 13x + 30 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-13$, а их произведение равно $30$. Этим условиям удовлетворяют числа $-10$ и $-3$.

Следовательно, $x_1 = -10$ и $x_2 = -3$.

2) Если $t = -52$, то получаем уравнение:

$x^2 + 13x = -52$

$x^2 + 13x + 52 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 169 - 208 = -39$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-10; -3$.