Страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

6. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, если известно, что она проходит через точку:

а) A(2; 6);

б) B(0; 4);

в) C(-1; -5);

г) D($\sqrt{3}$; -2);

д) E($-\sqrt{5}$; $\sqrt{5}$);

е) F($-\sqrt{7}$; 4).

Ответ: а) ....................

б) ....................

в) ....................

г) ....................

д) ....................

е) ....................

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Следовательно, уравнение принимает вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

Чтобы найти уравнение для каждого конкретного случая, нам нужно определить квадрат радиуса $R^2$. Так как окружность проходит через заданную точку $P(x; y)$, то ее радиус равен расстоянию от центра $O$ до точки $P$. Квадрат радиуса можно найти, подставив координаты данной точки в левую часть уравнения: $R^2 = x^2 + y^2$.

а) Окружность проходит через точку $A(2; 6)$.
Найдем квадрат ее радиуса, подставив координаты точки A в формулу:
$R^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$.
Таким образом, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 40$.
Ответ: $x^2 + y^2 = 40$.

б) Окружность проходит через точку $B(0; 4)$.
Найдем квадрат ее радиуса:
$R^2 = 0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16$.
Таким образом, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 16$.
Ответ: $x^2 + y^2 = 16$.

в) Окружность проходит через точку $C(-1; -5)$.
Найдем квадрат ее радиуса:
$R^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.
Таким образом, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 26$.
Ответ: $x^2 + y^2 = 26$.

г) Окружность проходит через точку $D(\sqrt{3}; -2)$.
Найдем квадрат ее радиуса:
$R^2 = (\sqrt{3})^2 + (-2)^2 = 3 + 4 = 7$.
Таким образом, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 7$.
Ответ: $x^2 + y^2 = 7$.

д) Окружность проходит через точку $E(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$.
Найдем квадрат ее радиуса:
$R^2 = (-\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10$.
Таким образом, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 10$.
Ответ: $x^2 + y^2 = 10$.

е) Окружность проходит через точку $F(-\sqrt{7}; 4)$.
Найдем квадрат ее радиуса:
$R^2 = (-\sqrt{7})^2 + 4^2 = 7 + 16 = 23$.
Таким образом, уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 23$.
Ответ: $x^2 + y^2 = 23$.

7. В каких точках график уравнения $(x-7)^2 + (y-5)^2 = 50$ пересекает оси координат?

Решение.

График пересекает ось x в точках, ординаты которых равны нулю:

$(x-7)^2 + (0-5)^2 = 50$

График пересекает ось y в точках, абсциссы которых равны нулю:

$(0-7)^2 + (y-5)^2 = 50$

Ответ:

график пересекает ось x в точках ............

график пересекает ось y в точках ............

График пересекает ось x в точках, ординаты которых равны нулю:

Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $x$), подставим в уравнение $(x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 50$ значение $y=0$:

$(x - 7)^2 + (0 - 5)^2 = 50$

$(x - 7)^2 + (-5)^2 = 50$

$(x - 7)^2 + 25 = 50$

Перенесем 25 в правую часть уравнения:

$(x - 7)^2 = 50 - 25$

$(x - 7)^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает два возможных случая:

1) $x - 7 = 5 \implies x_1 = 5 + 7 = 12$

2) $x - 7 = -5 \implies x_2 = -5 + 7 = 2$

Следовательно, график пересекает ось $x$ в точках с координатами $(2, 0)$ и $(12, 0)$.

Ответ: график пересекает ось $x$ в точках $(2, 0)$ и $(12, 0)$.

График пересекает ось y в точках, абсциссы которых равны нулю:

Чтобы найти точки пересечения графика с осью ординат (осью $y$), подставим в уравнение $(x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 50$ значение $x=0$:

$(0 - 7)^2 + (y - 5)^2 = 50$

$(-7)^2 + (y - 5)^2 = 50$

$49 + (y - 5)^2 = 50$

Перенесем 49 в правую часть уравнения:

$(y - 5)^2 = 50 - 49$

$(y - 5)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает два возможных случая:

1) $y - 5 = 1 \implies y_1 = 1 + 5 = 6$

2) $y - 5 = -1 \implies y_2 = -1 + 5 = 4$

Следовательно, график пересекает ось $y$ в точках с координатами $(0, 4)$ и $(0, 6)$.

Ответ: график пересекает ось $y$ в точках $(0, 4)$ и $(0, 6)$.

39. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.

Решение.

Данная последовательность является ...................., в которой первый член равен ...................., а последний равен .................... Найдем число членов этой прогрессии и вычислим их сумму:

........................

........................

........................

........................

........................

........................

..................... Шоколадные

........................

Ответ:

...................

Решение.

Двузначные числа, которые при делении на 3 дают в остатке 1, образуют арифметическую прогрессию. Общий вид таких чисел можно записать формулой $a_k = 3k + 1$, где $k$ – целое число.

1. Найдём первый член прогрессии ($a_1$). Это должно быть наименьшее двузначное число, удовлетворяющее условию. Начнем проверку с наименьшего двузначного числа — 10. При делении 10 на 3 получаем 3 и в остатке 1 ($10 = 3 \cdot 3 + 1$). Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = 10$.

2. Найдём последний член прогрессии ($a_n$). Это должно быть наибольшее двузначное число, удовлетворяющее условию. Начнем проверку с наибольшего двузначного числа — 99.

• $99 : 3 = 33$ (остаток 0)
• $98 : 3 = 32$ (остаток 2)
• $97 : 3 = 32$ (остаток 1)

Следовательно, последний член прогрессии $a_n = 97$.

3. Определим разность прогрессии ($d$). Поскольку каждое следующее число, дающее остаток 1 при делении на 3, больше предыдущего на 3 (например, 10, 13, 16...), разность прогрессии $d = 3$.

4. Найдём количество членов прогрессии ($n$). Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$97 = 10 + (n-1) \cdot 3$

$97 - 10 = (n-1) \cdot 3$

$87 = (n-1) \cdot 3$

$n - 1 = \frac{87}{3}$

$n - 1 = 29$

$n = 30$

Таким образом, в данной последовательности 30 чисел.

5. Вычислим сумму членов прогрессии ($S_n$). Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{30} = \frac{10 + 97}{2} \cdot 30$

$S_{30} = \frac{107}{2} \cdot 30$

$S_{30} = 107 \cdot 15$

$S_{30} = 1605$

Ответ: 1605.