Страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

4. При каких значениях $p$ произведение $(p - 1)(12 - 2p)p$ принимает отрицательное значение?

Для того чтобы произведение $(p - 1)(12 - 2p)p$ принимало отрицательное значение, необходимо решить следующее неравенство:

$(p - 1)(12 - 2p)p < 0$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв каждый множитель к нулю. Эти корни являются точками, в которых выражение может менять знак.

1) $p - 1 = 0 \implies p_1 = 1$

2) $12 - 2p = 0 \implies 2p = 12 \implies p_2 = 6$

3) $p_3 = 0$

Мы получили три корня: $0$, $1$ и $6$. Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $(p - 1)(12 - 2p)p$ в каждом из этих интервалов. Для этого выберем пробную точку в каждом интервале и подставим ее в выражение.

• Интервал $(-\infty; 0)$. Возьмем $p = -1$.

  $(-1 - 1)(12 - 2(-1))(-1) = (-2)(12 + 2)(-1) = (-2)(14)(-1) = 28$.

  Значение положительное ($>0$).

• Интервал $(0; 1)$. Возьмем $p = 0.5$.

  $(0.5 - 1)(12 - 2(0.5))(0.5) = (-0.5)(12 - 1)(0.5) = (-0.5)(11)(0.5) = -2.75$.

  Значение отрицательное ($<0$).

• Интервал $(1; 6)$. Возьмем $p = 2$.

  $(2 - 1)(12 - 2(2))(2) = (1)(12 - 4)(2) = (1)(8)(2) = 16$.

  Значение положительное ($>0$).

• Интервал $(6; +\infty)$. Возьмем $p = 7$.

  $(7 - 1)(12 - 2(7))(7) = (6)(12 - 14)(7) = (6)(-2)(7) = -84$.

  Значение отрицательное ($<0$).

Нас интересуют интервалы, где произведение отрицательно. Согласно нашим вычислениям, это интервалы $(0; 1)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $p \in (0; 1) \cup (6; +\infty)$

5. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{(x - 15)(17 - x)};$

б) $y = \sqrt{(2x - x^2)(x + 11)}.$

а)

Область определения функции $y = \sqrt{(x - 15)(17 - x)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Запишем соответствующее неравенство:
$(x - 15)(17 - x) \ge 0$

Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 15)(17 - x) = 0$.
$x - 15 = 0 \implies x_1 = 15$
$17 - x = 0 \implies x_2 = 17$

Отметим эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут включены в решение. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty; 15]$, $[15; 17]$ и $[17; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 15)(17 - x)$ на каждом из интервалов:
- для интервала $(-\infty; 15]$ (возьмем $x=0$): $(0 - 15)(17 - 0) = -255 < 0$. Знак «-».
- для интервала $[15; 17]$ (возьмем $x=16$): $(16 - 15)(17 - 16) = 1 \cdot 1 = 1 > 0$. Знак «+».
- для интервала $[17; +\infty)$ (возьмем $x=20$): $(20 - 15)(17 - 20) = 5 \cdot (-3) = -15 < 0$. Знак «-».

Нас интересует промежуток, где выражение неотрицательно, то есть имеет знак «+» или равно нулю. Это промежуток $[15; 17]$.
Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, удовлетворяющие условию $15 \le x \le 17$.

Ответ: $D(y) = [15; 17]$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{(2x - x^2)(x + 11)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Запишем неравенство:
$(2x - x^2)(x + 11) \ge 0$

Разложим первый множитель на более простые: $2x - x^2 = x(2 - x)$.
Неравенство принимает вид:
$x(2 - x)(x + 11) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения $x(2 - x)(x + 11)$:
$x_1 = 0$
$2 - x = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 11 = 0 \implies x_3 = -11$

Отметим точки $-11$, $0$ и $2$ на числовой прямой. Точки включаются в решение, так как неравенство нестрогое. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11]$, $[-11; 0]$, $[0; 2]$ и $[2; +\infty)$.

Определим знак выражения $x(2 - x)(x + 11)$ на каждом интервале:
- для интервала $(-\infty; -11]$ (возьмем $x=-12$): $(-12)(2 - (-12))(-12 + 11) = (-12)(14)(-1) > 0$. Знак «+».
- для интервала $[-11; 0]$ (возьмем $x=-1$): $(-1)(2 - (-1))(-1 + 11) = (-1)(3)(10) < 0$. Знак «-».
- для интервала $[0; 2]$ (возьмем $x=1$): $(1)(2 - 1)(1 + 11) = (1)(1)(12) > 0$. Знак «+».
- для интервала $[2; +\infty)$ (возьмем $x=3$): $(3)(2 - 3)(3 + 11) = (3)(-1)(14) < 0$. Знак «-».

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно (знак «+» или равно нулю). Это объединение промежутков $(-\infty; -11]$ и $[0; 2]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -11] \cup [0; 2]$.

6. Воспользовавшись тем, что знак дроби $\frac{a}{b}$ совпадает со знаком произведения $ab$, решите неравенство:

a) $\frac{x+1}{x-11} > 0;$

б) $\frac{7x+14}{x+1} < 0.$

В условии задачи сказано, что знак дроби $\frac{a}{b}$ совпадает со знаком произведения $ab$. Это позволяет нам заменить решение дробно-рационального неравенства решением равносильного ему неравенства, в котором вместо дроби стоит произведение числителя и знаменателя. При этом необходимо помнить, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

а) $\frac{x+1}{x-11}>0$

Данное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} (x+1)(x-11) > 0, \\ x-11 \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство $(x+1)(x-11) > 0$ методом интервалов.
1. Найдем нули выражения $(x+1)(x-11)$:
$x+1=0 \implies x_1=-1$
$x-11=0 \implies x_2=11$
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, точки будут выколотыми.

3. Определим знаки произведения на полученных интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; 11)$ и $(11; +\infty)$.
- При $x > 11$ (например, $x=12$): $(12+1)(12-11) = 13 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
- При $-1 < x < 11$ (например, $x=0$): $(0+1)(0-11) = 1 \cdot (-11) < 0$. Знак «-».
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-2+1)(-2-11) = (-1) \cdot (-13) > 0$. Знак «+».
4. Так как нам нужно, чтобы произведение было больше нуля, выбираем интервалы со знаком «+».
Условие $x-11 \neq 0$, то есть $x \neq 11$, учтено, так как точка $x=11$ выколотая.
Решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (11; +\infty)$.

б) $\frac{7x+14}{x+1}<0$

Данное неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} (7x+14)(x+1) < 0, \\ x+1 \neq 0. \end{cases} $$ Решим первое неравенство. Можно вынести общий множитель 7 за скобки:
$7(x+2)(x+1) < 0$
Разделим обе части неравенства на положительное число 7, знак неравенства при этом не изменится:
$(x+2)(x+1) < 0$
1. Найдем нули выражения $(x+2)(x+1)$:
$x+2=0 \implies x_1=-2$
$x+1=0 \implies x_2=-1$
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое, поэтому точки выколотые.

3. Определим знаки произведения на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
- При $x > -1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0+1) = 2 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5+2)(-1.5+1) = 0.5 \cdot (-0.5) < 0$. Знак «-».
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3+1) = (-1) \cdot (-2) > 0$. Знак «+».
4. Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, поэтому выбираем интервал со знаком «-».
Условие $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$, выполняется, так как точка $x=-1$ выколотая.
Ответ: $x \in (-2; -1)$.

32. Два комбайна, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 ч. За сколько часов смог бы убрать урожай каждый комбайн, если известно, что второй комбайн убрал урожай с одной трети участка на 3 ч быстрее, чем первый с его половины?

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение.

Работа Время, ч Производительность, ед./ч

1-й комбайн 1 $x$

2-й комбайн 1 $y$

Вместе 1 20

1-й комбайн $1/2$

2-й комбайн $1/3$

Так как комбайны, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 ч, то сумма их производительностей равна совместной производительности, т. е.
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $ (1)

Так же по условию задачи второй комбайн убрал урожай с одной трети участка на 3 ч быстрее, чем первый с его половины, поэтому
$ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 $ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \end{cases} $

Следовательно, первый комбайн смог бы убрать урожай за ............... ч, второй комбайн ............... за ............... ч.

Ответ: ...............

Обозначим за $x$ время в часах, за которое первый комбайн может убрать весь урожай, работая в одиночку, и за $y$ — время в часах для второго комбайна. Тогда их производительности равны $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ ед./ч соответственно. Заполним таблицу:

Так как комбайны, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 ч, то сумма их производительностей равна совместной производительности, т. е. $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \quad (1) $$

Так же по условию задачи второй комбайн убрал урожай с одной трети участка на 3 ч быстрее, чем первый с его половины, поэтому $$ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \quad (2) $$

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$\frac{y}{3} = \frac{x}{2} - 3 \implies \frac{y}{3} = \frac{x - 6}{2} \implies y = \frac{3(x-6)}{2}$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3(x-6)}{2}} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{1}{x} + \frac{2}{3(x-6)} = \frac{1}{20} $$ Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $3x(x-6)$: $$ \frac{3(x-6) + 2x}{3x(x-6)} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{5x - 18}{3x^2 - 18x} = \frac{1}{20} $$

По свойству пропорции получаем: $$ 20(5x - 18) = 1 \cdot (3x^2 - 18x) $$ $$ 100x - 360 = 3x^2 - 18x $$ $$ 3x^2 - 118x + 360 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-118)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 360 = 13924 - 4320 = 9604$.
$\sqrt{D} = \sqrt{9604} = 98$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{118 + 98}{2 \cdot 3} = \frac{216}{6} = 36$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{118 - 98}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Из условия (2) следует, что время работы второго комбайна $\frac{y}{3}$ положительно, значит $\frac{x}{2} - 3 > 0$, откуда $\frac{x}{2} > 3$ и $x > 6$. Корень $x_2 = \frac{10}{3} \approx 3,33$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Следовательно, подходит только $x=36$.

Теперь найдем $y$:
$y = \frac{3(36-6)}{2} = \frac{3 \cdot 30}{2} = 45$.

Следовательно, первый комбайн смог бы убрать урожай за 36 ч, второй комбайн — за 45 ч.

Ответ: первый комбайн за 36 часов, второй комбайн за 45 часов.