Страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

3. При каких значениях $b$ трёхчлен $6b^2 - 5b - 4$ принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения?

Ответ: а) б)

Чтобы определить, при каких значениях b трёхчлен $6b^2 - 5b - 4$ принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить соответствующие неравенства. Для этого сначала найдём корни квадратного уравнения $6b^2 - 5b - 4 = 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(b) = 6b^2 - 5b - 4$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $b^2$ равен 6 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдём точки пересечения параболы с осью абсцисс (корни уравнения), решив уравнение $6b^2 - 5b - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a = 6$, $b = -5$, $c = -4$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдём корни $b_1$ и $b_2$ по формуле $b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$b_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 11}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} = -0,5$

$b_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Корни уравнения — это точки, в которых значение трёхчлена равно нулю. Поскольку ветви параболы направлены вверх, трёхчлен будет принимать положительные значения на интервалах вне корней и отрицательные значения на интервале между корнями.

а) положительные значения

Мы ищем значения b, при которых выполняется неравенство $6b^2 - 5b - 4 > 0$.

Это происходит, когда значение b находится левее меньшего корня ($-0,5$) или правее большего корня ($\frac{4}{3}$).

Следовательно, $b < -0,5$ или $b > \frac{4}{3}$.

В виде объединения интервалов это записывается как $b \in (-\infty; -0,5) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -0,5) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$.

б) отрицательные значения

Мы ищем значения b, при которых выполняется неравенство $6b^2 - 5b - 4 < 0$.

Это происходит, когда значение b находится строго между корнями.

Следовательно, $-0,5 < b < \frac{4}{3}$.

В виде интервала это записывается как $b \in (-0,5; \frac{4}{3})$.

Ответ: $b \in (-0,5; \frac{4}{3})$.

4. Найдите множество решений неравенства:

a) $5x^2 - 4 < x$;

б) $x^2 + 4 < 3$.

a) Координатная плоскость с осями y, x и началом координат 0.

б) Координатная плоскость с осями y, x и началом координат 0.

Ответ: a) .......................... б) ..........................

а) Чтобы решить неравенство $5x^2 - 4 < x$, сначала преобразуем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c < 0$, перенеся все члены в левую часть:
$5x^2 - x - 4 < 0$
Теперь рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 5x^2 - x - 4$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 5, что больше нуля ($a=5 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - x - 4 = 0$, чтобы определить точки пересечения параболы с осью Ox.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Мы ищем значения $x$, при которых $5x^2 - x - 4 < 0$, то есть при которых парабола находится ниже оси Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, она принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.
Таким образом, решением неравенства является интервал $x \in (-0.8; 1)$.
Ответ: $x \in (-0.8; 1)$

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + 4 < 3$. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 4 - 3 < 0$
$x^2 + 1 < 0$
Проанализируем левую часть полученного неравенства. Выражение $x^2$ для любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет больше или равен 1:
$x^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $x^2 + 1 \ge 1$.
Таким образом, выражение $x^2 + 1$ всегда является положительным и, более того, всегда больше или равно 1. Оно никогда не может быть меньше нуля.
Следовательно, неравенство $x^2 + 1 < 0$ не имеет решений в множестве действительных чисел.

Это также можно показать, рассмотрев график функции $y = x^2 + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0; 1)$. Весь график расположен выше оси Ox, а минимальное значение функции равно 1. Поэтому неравенство $y < 0$ не выполняется ни при каких $x$.
Ответ: нет решений

23. Решите уравнение:

a) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

б) $y^4 - 6y^2 + 5 = 0$

в) $x^4 + 17x^2 + 16 = 0$

г) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Ответ:

a) б) в) г)

а) Уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ является биквадратным.
Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 5$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 4$. Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1) Если $t = 1$, то $x^2 = 1$. Корнями этого уравнения являются $x = \pm 1$.
2) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Корнями этого уравнения являются $x = \pm 2$.
Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

б) Уравнение $y^4 - 6y^2 + 5 = 0$ является биквадратным.
Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 - 6t + 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 6$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 5$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Оба корня положительны, значит, удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к переменной $y$:
1) $y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
2) $y^2 = 5 \implies y = \pm \sqrt{5}$.
Исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\sqrt{5}; -1; 1; \sqrt{5}$.

в) Уравнение $x^4 + 17x^2 + 16 = 0$ является биквадратным.
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 + 17t + 16 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-17 - 15}{2} = \frac{-32}{2} = -16$.
$t_2 = \frac{-17 + 15}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Оба полученных значения для $t$ отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$.
Следовательно, уравнения $x^2 = -16$ и $x^2 = -1$ не имеют действительных корней.
Ответ: корней нет.

г) Уравнение $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$ является биквадратным.
Выполним замену переменной. Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Проверим соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = -1$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$t_2 = 4$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену для $t=4$:
$x^2 = 4$.
Отсюда $x = \pm 2$.
Ответ: $-2; 2$.

24. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли прямая $y=2-x$ и окружность $x^2+y^2=4$. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Решение.

Ответ:

Аналитическое решение (поиск точек пересечения)

Чтобы выяснить, пересекаются ли прямая и окружность, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти линии.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y = 2 - x \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения (уравнения прямой) во второе уравнение (уравнение окружности):

$x^2 + (2 - x)^2 = 4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (4 - 4x + x^2) = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 4x + 4 = 4$

Вычтем 4 из обеих частей уравнения:

$2x^2 - 4x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2x$:

$2x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два решения для $x$:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Поскольку мы получили два различных действительных корня, прямая и окружность пересекаются в двух точках. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в уравнение прямой $y = 2 - x$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 2 - 0 = 2$.

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты $(0, 2)$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 2 - 2 = 0$.

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты $(2, 0)$.

Иллюстрация решения с помощью графиков

Для наглядной иллюстрации построим графики окружности и прямой на координатной плоскости.Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.Уравнение $y = 2 - x$ задает прямую. Для ее построения можно использовать найденные точки пересечения $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: прямая и окружность пересекаются в точках $(0; 2)$ и $(2; 0)$.